目錄
- 目錄
- 前言
- （一）牛頓迭代法的分析
- 1.定義
- 2.條件
- 3.思想
- 4.誤差
- （二）代碼實現
- 1.算法流程圖
- 2.源代碼
- （三）案例演示
- 1.求解：\(f(x)=x^3-x-1=0\)
- 2.求解：\(f(x)=x^2-115=0\)
- 3.求解：\(f(x)=x^3-x^2-x+1\)
- 4.求解：\(f(x)=x^4-4x^2+4=0\)
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前言
今天我們講的是具有收斂速度快，能求重根的解方程之法，牛頓迭代法。
（一）牛頓迭代法的分析
1.定義
迭代公式如下：
\[ x_{k+1} = x_k-\frac{f(x_k)}{f\prime(x_k)} (k=0,1,2...) \]
迭代函數是：
\[ \varphi(x) = x_k-\frac{f(x_k)}{f\prime(x_k)} \]
由于$ \varphi(x)= x_k-\frac{f(x_k)}{f\prime(x_k)}$ 與原方程\(f(x)=0\) 等價。
當\(k\rightarrow \infty\) 時，\(x_k\)就是\(f(x)=0\)的近似解。
該方法稱為牛頓迭代方法。
2.條件
f(x)函數是連續可導函數。
f(x)在局部收斂，當\(f(x) \times f\prime\prime(x)>0\)時，局部收斂。
注意：牛頓迭代法的局部收斂性，很依賴于初始值的取法。
也就是說，初始值的選取，決定該區域的收斂性。
3.思想
其總思想還是迭代的方法，只是其迭代公式是由泰勒展開得來的，其利用的是：用切線方程與x軸的交點來近似f(x)與x軸的交點。
4.誤差
任然用的是迭代法的誤差，前后兩次x的差的絕對值與我們給的精度比較。
（二）代碼實現
1.算法流程圖
2.源代碼
feval()函數
def feval(string, a):"""根據值來計算數學表達式。:param string: 含有x未知數的數學表達式:param a: 自變量x的具體數值:return: 數學表達式的計算結果"""count = string.count("x")string = string.replace('x', '%f')t = (a, ) * countresult = eval(string % t)return resultfloat_num()函數
def flaot_num(x, r):"""處理保留幾位小數點的函數,四舍五入法:param x: 原始數據:param r: 誤差:return: 處理后的數據"""# 處理小數點的位數r = str(r)if "." in r:dian = r.index(".")size = len(r[dian + 1:])result = round(x, size)return resultelif "e" in r:dian = r.index("e")size = int(r[dian+2:])result = round(x, size)return resultelse:result = round(x, 0)return result牛頓迭代法
"""牛頓迭代法，迭代的思想，不斷逼近。
"""
# 求導數需要的庫
import sympy as sp
from my_math.func_math import feval, flaot_numdef new_fun(expr, x0, r):"""牛頓迭代法求解方程的根:param expr: 代函數表達式:param x0: 初始值:param r: 誤差:return: 計算的結果值"""x = sp.Symbol('x')k = 0# 一階導與二階導fx_1 = str(sp.diff(expr))fx_2 = str(sp.diff(fx_1))# 迭代公式y = "x-" + "("+expr + ")/(" + fx_1 + ")"# 判斷收斂性if feval(expr, x0)*feval(fx_2, x0) <= 0:print("函數處于該點區域不收斂")result = Noneelse:x1 = feval(y, x0)x2 = feval(y, x1)while abs(x2-x1) > r:x1 = feval(y, x2)x2 = feval(y, x1)k += 1print("次數：", k)print("x1:", x1)print("x2:", x2)result = flaot_num(x2, r)print("=" * 30)print("原始的數據是", x2)print("最后的結果是：", result)return resultif __name__ == '__main__':new_fun("x**4-4*x**2+4", 2, 10**-5)（三）案例演示
1.求解：\(f(x)=x^3-x-1=0\)
誤差：10^-5
圖像分析（來確定初值）
取在1.5為初始值
運行結果：
2.求解：\(f(x)=x^2-115=0\)
誤差：10^-5
圖像分析（來確定初值）
取11為初始值。
運行結果：
3.求解：\(f(x)=x^3-x^2-x+1\)
誤差：10^-5
圖像分析（來確定初值）
取初始值為：1.6
運行結果：
4.求解：\(f(x)=x^4-4x^2+4=0\)
圖像分析（來確定初值）
取初值是：0
運行結果：
我們換另一個點試試，取初始值為2
運行結果：
方法)
