對矩陣A進行初等行變換相當于左乘一個可逆矩陣P。
把A看作是列向量組，若有Ax=0，則其中的x就說明了列向量的線性關系：
[ α 1 , α 2 , α 3 ] [ x 1 x 2 x 3 ] = [ 0 ] \left[ \alpha_1 ,\alpha_2, \alpha_3 \right] \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\end{bmatrix} [α1?,α2?,α3?] ?x1?x2?x3?? ?=[0?]
x 1 α 1 + x 2 α 2 + x 3 α 3 = 0 x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+x_3\alpha_3=0 x1?α1?+x2?α2?+x3?α3?=0
若對A進行初等行變換后得到了 P A x = 0 PAx=0 PAx=0，知 A x = 0 Ax=0 Ax=0與 P A x = 0 PAx=0 PAx=0同解，就說明了x也適用于矩陣 P A PA PA的列向量之間的線性關系
所以 A A A 與 P A PA PA 的列向量有相同的線性關系。
此外， P A PA PA的行向量組與A的行向量組等價。把A看作是行向量組，若 P A = B PA=B PA=B，有：
[ p 11 p 12 p 13 p 21 p 22 p 23 p 31 p 32 p 33 ] [ α 1 α 2 α 3 ] = [ β 1 β 2 β 3 ] = [ p 11 α 1 + p 12 α 2 + p 13 α 3 p 21 α 1 + p 22 α 2 + p 23 α 3 p 31 α 1 + p 32 α 2 + p 33 α 3 ] \begin{bmatrix} p_{11} & p_{12} & p_{13} \\ p_{21} & p_{22} & p_{23} \\ p_{31} & p_{32} & p_{33} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha _3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \\ \beta_3 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} p_{11}\alpha _{1}+p_{12}\alpha_2 +p_{13}\alpha _{3} \\ p_{21}\alpha _{1}+p_{22}\alpha_2+p_{23}\alpha_3 \\ p_{31}\alpha _{1}+p_{32}\alpha_2+p_{33}\alpha_3 \end{bmatrix} ?p11?p21?p31??p12?p22?p32??p13?p23?p33?? ? ?α1?α2?α3?? ?= ?β1?β2?β3?? ?= ?p11?α1?+p12?α2?+p13?α3?p21?α1?+p22?α2?+p23?α3?p31?α1?+p32?α2?+p33?α3?? ?
可知矩陣B的每一個行向量都能用矩陣A的行向量進行線性表出。又由于矩陣P可逆，故 A = P ? 1 B A=P^{-1}B A=P?1B，同理可知矩陣A的每一個行向量也可由矩陣B的行向量進行線性表出。
因此矩陣A的行向量組與矩陣B的行向量組等價。
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