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我們上節課學習了
- 在離散有限維空間中，任何線性系統都是通過矩陣間的相乘得到的
- 在連續無限維空間中，任何線性系統都是通過對核函數的積分得到的
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脈沖響應（impulse response）
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級聯線性系統（Cascading linear system）
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如果$L$與$M$都是線性的，有
$w=MLv$
在連續無限維空間中
$\begin{align*}
MLv
&=M\left( \int_{-\infty}^{\infty}k(x,y)v(y)dy \right )\\
&\approx M\left( \sum_{i=-\infty}^{\infty}k(x,y_i)v(y_i)\Delta y_i \right )\\
&=\sum_{-\infty}^{\infty}M\left( k(x,y_i)v(y_i)\Delta y_i \right )\\
&=\sum_{-\infty}^{\infty}M_x \left( k(x,y_i)v(y_i)\Delta y_i \right ) \qquad M\ deal\ with\ the\ function\ that\ Lv\ ouput\ based\ on\ x \\
&\approx \int_{-\infty}^{\infty}M_x(k(x,y))v(y)dy
\end{align*}$
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脈沖響應的定義
上述關于級聯的討論是為了引出下面的這個結論：
任何線性系統都由對核（函數）的積分得到，核（函數）就是該線性系統對脈沖函數的響應。（Any linear system is given by integration against a kernel (impulse response).）
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推導過程如下：
$\begin{align*}
v(x)
&=(\delta * v)(x)\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x-y)v(y)dy \qquad(\delta\ shift\ property)
\end{align*}$
那么線性系統有如下表示
$\begin{align*}
Lv(x)
&=L\left( \int_{-\infty}^{\infty}\delta(x-y)v(y)dy \right )\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}L_x\delta(x-y)v(y)dy
\end{align*}$
令$h(x,y) = L_x\delta(x-y)$，則有，
$\displaystyle{ Lv(x) = \int_{-\infty}^{\infty}h(x,y)v(y)dy }$
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其中$h(x,y)$是該線性系統的核函數，它由$L_x\delta(x-y)$得到，同時他也是該線性系統的脈沖響應。
脈沖響應的定義如下
- $\delta(x-y)$是位置在$y$上的脈沖，$L_x\delta(x-y)$表示了把脈沖輸入到該線性系統，此時系統會做出響應，并輸出脈沖響應$h(x,y)$。
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Schwartz核函數定理
如果$L$是廣義函數（分布）的一個線性算符，即$L$在符合疊加性原則的基礎上將一個廣義函數變換為另一個廣義函數，那么就會存在唯一的核$k$，使得$Lv = <k,v>$
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傅里葉變換的脈沖響應
當輸入脈沖函數$\delta(x-y)$，傅里葉變換會輸出
$h(x,y) = \mathcal{F}(\delta(x-y)) = e^{-2\pi ixy}$
另外，傅里葉變換的公式如下
$\mathcal{F}f(x) = \displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ixy}f(y)dy }$
它的核函數為
$k(x,y) = e^{-2\pi ixy}$
我們注意到，核函數與脈沖響應式一樣的，其中有如下關系：
- 如果一個線性算符能表示成對于$k(x,y)$與輸入函數乘積的積分形式，那么$k(x,y)$就是脈沖響應了。
- 反過來說，如果我們能得到線性系統的脈沖響應，就能通過對脈沖響應和輸入函數的乘積進行積分來表達該線性系統的線性算符。
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離散有限維線性系統的脈沖響應
在連續無限維的線性系統中，脈沖響應是線性系統對輸入脈沖$\delta(x-y)$的響應。在離散有限維線性系統也同樣是對輸入脈沖序列的響應，用矩陣乘法的表達如下：
$A\cdot \left[ \underline{\delta}_0,\underline{\delta}_1,\underline{\delta}_2,...,\underline{\delta}_{n-1} \right]
=A\cdot\begin{bmatrix}
1 &0? &0? &...? &0 \\
0 &1? &0? &...? &0 \\
0 &0? &1? &...? &0 \\
\vdots &\vdots? &\vdots? &...? &\vdots \\
0 &0? &0? &...? &1
\end{bmatrix}=A$
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脈沖響應的例子
開關
$Lv = \Pi v$
它的脈沖響應為
$h(x,y) = L\delta(x-y) = \Pi(x)\delta(x-y) = \Pi(y)\delta(x-y) \qquad(\delta\ sampling\ property)$
對脈沖響應與輸入函數乘積的積分會得到開關的線性算符
$\begin{align*}
\int_{-\infty}^{\infty}h(x,y)v(y)dy
&=\int_{-\infty}^{\infty}\Pi(y)\delta(x-y)v(y)dy\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x-y)\left( \Pi(y)v(y) \right )dy\\
&=\left(\delta * (\Pi v) \right )(x) \qquad (\delta\ shift\ property)\\
&=\Pi(x)v(x)
\end{align*}$
這個結果證明了前面的結論是正確的
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卷積，連續無限維線性時不變系統
引入時移符號$\tau$
$\tau_a v(x) = v(x-a)$。
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假設有用卷積表達的線性系統如下
$Lv = h*v$
如果我們對輸入$v$進行延時$a$
$\begin{align*}
L\tau_a v(x)
&= (h*\tau_av)(x)\\
&= \int_{-\infty}^{\infty}h(x-y)v(y-a)dy \\
&= \int_{-\infty}^{\infty}h(x-z-a)v(z)dz \qquad (letting\ z=y-a) \\
&= \int_{-\infty}^{\infty}\left(h(x-z)*\delta(x-a) \right )v(z)dz \qquad (\delta\ shift\ property)\\
&= \left(\int_{-\infty}^{\infty}h(x-z)v(z)dz \right )*\delta(x-a)\\
&= (h*v)(x-a)\\
&= \tau_a(h*v)(x)\\
&= \tau_aLv(x)
\end{align*}$
結果顯示該線性系統輸出的延時與輸入的延時同為$a$，這被稱為線性時不變系統（Linear Time Invariant System）。
結論是：
- 如果一個線性系統是由卷積給定的，那么他就是時不變的。
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反過來也是成立的:
- 如果一個線性系統是時不變的，那么它一定是由卷積給定的。
證明過程如下：
任何連續無限維線性系統都有如下表示
$Lv = \displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}L_x\delta(x-y)v(y)dy }$
我們令$h(x) = L_x\delta(x)$，就是線性系統對$\delta_0$進行脈沖響應。則有
$L_x\delta(x-y) = L_x(\tau_y\delta(x))$
如果$L$是時不變的，則輸出與輸入會有同一延時
$L_x\delta(x-y) = L_x(\tau_y\delta(x)) = \tau_y(L_x\delta(x)) = \tau_yh(x) = h(x-y)$
即
$Lv = \displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}h(x-y)v(y)dy }$
