數學建模（二）線性規劃

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一、線性規劃的實例與定義

1.1 線性規劃的實例

1.2 線性規劃的定義

1.3 最優解

1.4 線性規劃的Mathlab標準形式

1.5 使用linprog函數

二、線性規劃模型建模實戰與代碼

2.1 問題提出

2.2 基本假設

2.3 模型的分析與建立?

2.3.1 模型分析

2.3.2 建立模型

2.3.3 多目標線性規劃模型轉化為單目標線性規劃模型——制定界限

2.3.4 求解

在人們的生產實踐中，經常會遇到如何利用現有資源來安排生產，以取得最大經濟效益的問題。此類問題構成了運籌學的一個重要分支：數學規劃。而線性規劃(Linear Programming 簡記LP)則是數學規劃的一個重要分支。

一、線性規劃的實例與定義

1.1 線性規劃的實例

例：某機床廠生產甲、乙兩種機床，每臺銷售后的利潤分別為4千元與3千元。生產甲機床需用A、B機器加工，加工時間分別為每臺 2小時和1小時;生產乙機床需用A、B、C三種機器加工，加工時間為每臺各一小時。若每天可用于加工的機器時數分別為A機器10小時、B機器8小時和C機器7小時，問該廠應生產甲、乙機床各幾臺，才能使總利潤最大?

上述問題的數學模型：設該廠生產x1臺甲機床和x2乙機床時總利潤z最大，則x1,x2應滿足：

以上便是一個線性規劃問題的數學模型，其中變量x1,x2稱之為決策變量，(1.1)式被稱為問題的目標函數，(1.2)中的幾個不等式是問題的約束條件，記為s.t.(即subject to)。

1.2 線性規劃的定義

目標函數及約束條件均為線性函數，故被稱為線性規劃問題。線性規劃問題是在一組線性約束條件的限制下，求一線性目標函數最大或最小的問題。

1.3 最優解

滿足約束條件的解x=[x,,L ,xI',稱為線性規劃問題的可行解，而使目標函數達到最大值的可行解叫最優解。

1.4 線性規劃的Mathlab標準形式

線性規劃的目標函數可以是求最大值，也可以是求最小值，約束條件的不等號可以是小于號也可以是大于號。為了避免這種形式多樣性帶來的不便，Matlab中規定線性規劃的標準形式：

其中c和x為n維列向量，A、Aeq為適當維數的矩陣，b、beq為適當維數的列向量。

Matlab中求解線性規劃的命令為：

Matlab中的linprog函數是一個線性規劃求解器，可以用于求解線性規劃問題。使用條件：滿足Mathlab線性規劃標準形式。

[x,fval] = linprog(c,A,b)
[x,fval] = linprog(c,A,b,Aeq,beq)
[x,fval] = linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

其中，x返回的是決策向量的取值，fval返回的是目標函數的最優值，c為價值向量，A，b對應的是線性不等式約束，Aeq，beq對應的是線性等式約束，lb和ub分別對應的是決策向量的下界向量和上界向量。

1.5 使用linprog函數

求解的Matlab程序如下：

f=[-2;-3;5];
a=[-2,5,-1;1,3,1]; b=[-10;12];
aeq=[1,1,1];
beq=7;
[x,y]=linprog(f,a,b,aeq,beq,zeros(3,1));
x, y=-y

1. 目標函數中求max時，將目標函數的系數全部取反，即可看作求min，代入linprog函數，求得目標函數的最優值再取反回來，便得到了求max時目標函數的最優值（y）。這時，決策向量（x）的取值正對應著求max時目標函數的最優值，所以不變。

2. 約束條件中的不等號為大于號時，系數全部取反，代入linprog函數即可。

二、線性規劃模型建模實戰與代碼

2.1 問題提出

??????? 市場上有n種資產 $s_i$ (i= 1,2,L ,n)可以選擇，現用數額為M的相當大的資金作一個時期的投資。這n種資產在這一時期內購買 $s_i$ 的平均收益率為 $r_i$ ，風險損失率為 $q_i$ ，投資越分散，總的風險越少，總體風險可用投資的 $s_i$ 中最大的一個風險來度量。
????????購買 $s_i$ 時要付交易費，費率為 $p_i$ ，當購買額不超過給定值 $u_i$ 時，交易費按購買 $u_i$ 計算。另外，假定同期銀行存款利率是 $r_0$ ，既無交易費又無風險（ $r_0$ = 5%)。

????????已知n=4時相關數據如表1.1。

????????試給該公司設計一種投資組合方案，即用給定資金M，有選擇地購買若干種資產或存銀行生息，使凈收益盡可能大，使總體風險盡可能小。

2.2 基本假設

(1)投資數額M相當大，為了便于計算，假設M=1。
(2)投資越分散，總的風險越小。
(3)總體風險用投資項目 $s_i$ 中最大的一個風險來度量。
(4)n+1 種 $s_i$ 資產之間是相互獨立的。其中s0表示存入銀行的資產。
(5)在投資的這一時期內， $r_i$ ， $p_i$ ， $q_i$ 為定值，不受意外因素影響。
(6)凈收益和總體風險只受 $r_i$ ， $p_i$ ， $q_i$ 影響，不受其它因素干擾。

2.3 模型的分析與建立?

2.3.1 模型分析

1. 首先，我們要明確兩個目標，即收益最大和風險最小，因此這是一個多目標規劃模型。
2. 總體風險用所投資的 $s_i$ 中最大的一個風險來衡量，即

???????????????????????????????????????????????????????? $max\{q_ix_i|i= 1,2,L ,n\}$

3. 購買 $s_i$ (i= 1,L ,n) 所付交易費是一個分段函數，即

而所給的定值 $u_i$ (單位:元)相對總投資M很小， $p_iu_i$ 更小可以忽略不計，這樣購買 $s_i$ 的凈收益可以簡化為 $(r_i-p_i)x_i$ 。

2.3.2 建立模型

其中， $x_i$ 表示投資項目 $s_i$ 的資金，i= 0,1,…,n；x0表示存入銀行的資產。約束條件表示總資金投入必須等于M，投資項目 $s_i$ 的資金必須大于等于0。

2.3.3 多目標線性規劃模型轉化為單目標線性規劃模型——制定界限

方案一：固定風險水平，優化收益

在實際投資中，投資者承受風險的程度不一樣，若給定風險一個界限a，使最大的一個風險 $\frac{q_ix}{M}\leq a$ ，可找到相應的投資方案。這樣把多目標規劃變成一個目標的線性規劃。

方案二：固定盈利水平，極小化最大風險

給定收益一個界限k。

方案三：設置投資偏好系數

投資者在權衡資產風險和預期收益兩方面時，希望選擇一個令自己滿意的投資組合。因此對風險、收益分別賦予權重s (0<s≤1)和1-s，s稱為投資偏好系數。

2.3.4 求解

模型一：

由于a是任意給定的風險度，沒有一個確定的準則，不同的投資者有不同的風險度。我們從a= 0開始，以步長 $\Delta a$ = 0.001進行循環搜索，編制程序如下：

clc,clear
a=0;hold on
while a<0.05c=[-0.05,-0.27,-0.19,-0.185,-0.185];A=[zeros(4,1 ),diag([0.025,0.015,0.055,0.026])];b=a*ones(4,1);Aeq=[1,1.01,1.02,1.045,1.065];beq=1; LB= zeros(5,1);[x,Q]=linprog(C,A,b,Aeq,beq,LB);Q=-Q; plot(a,Q,'*k');a=a+0.001;
end
xlabel('a'),ylabel('Q')

可以看出，在a=0.006附近有一個轉折點，在這一點左邊，風險增加很少時，利潤增長很快。在這一點右邊，風險增加很大時，利潤增長很緩慢，所以對于風險和收益沒有特殊偏好的投資者來說，應該選擇曲線的轉折點作為最優投資組合，所對應投資方案為風險度a= 0.006，收益Q=0.2019，x0=0，x1= 0.24，x1= 0.4，x3= 0.1091，x4= 0.2212。

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