極坐標變換定義

我們知道在二維坐標系中，有直角坐標系，也有極坐標系，二者的轉換關系是：

如下圖：

如圖，直角坐標系的圓心與極坐標系的圓心一一對應，且圓弧BA可以通過極坐標變換到極坐標系$\rho=r$的一條直線上，實現由圓形到直線的轉換。這往往在一些圖像處理中很有用。

實際上，我們在圖像處理中，往往還不是處理這樣的圓弧，而更多的是處理圓環區域。如下，

同理，我們可以把（a）圖中的圓環區域1234,轉換成矩形區域（b）.矩形區域與圓環存在一定的對應關系，區域轉換滿足：轉換前后兩區域頂點1234一一對應，轉換后的矩形區域寬為圓環內外弧弧長$(\phi_2-\phi_1)$，高為圓環內外半徑的差$R_2-R_1$.

具體的數學轉換關系是：獲取圓環區域的圓心坐標$(x_0,y_0)$、外半徑$R_2$、內半徑$R_1$、圓環起始角度$\phi_1$和終止角度$\phi_2$.取矩形區域一點$A(x,y)$,它在圓弧內對應的點為$A'$.在圖（b）矩形區域中，每一個單位長度對應的角度為$(\phi_2-\phi_1)/[(\phi_2-\phi_1)\cdot R_2]$,記$(\phi_2-\phi_1)$為$\Delta_{\phi}$,則A對應于A’在圓環區域內極坐標下的角度$\phi_A$表示為：

$$\phi_A=\phi_1+\frac{\Delta_{\phi}}{\Delta_{\phi}\cdot R_2}x~~~~~~~（1）$$ ,點A對應于A’在圓環區域內極坐標下的半徑 $R_A$為：
$$R_A=R_1+y.~~~~~~~(2）$$
得到 $\phi_A,R_A$后，可以通過極坐標變換得到直角坐標系下的坐標。
設A’在圓環區域內 $(x',y')$,則
$$\left\{\begin{matrix} x' & =x_0+R_A\cos\phi_A\\ y' & =y_0+R_A\sin\phi_A \end{matrix}\right. ~~~~~~~~~~~~~~~~~(3)$$
顯然A點的灰度值應該與A’的灰度值相同，但是A’的坐標值通常不是整數，因此無法計算A’的像素值，可以通過 雙線性插值獲得其近似像素值。

極坐標變換在OCR中的應用

在工業視覺領域，經常要進行字符識別，但是有些字符是印在像硬幣、CD唱片機一樣的圓形區域上，如下圖：

圖2

我們想要識別硬幣上的字符，這時需要使用OCR。OCR通常需要進行兩步，第一是字符分割，第二是字符識別。對于此圖而言，字符分割不容易，主要是由于我們需要識別的字符位于環形區域中，并不是一般意義上的水平排布，此時我們就可以使用如上的極坐標變換，先定位字符的圓環區域，再轉變到水平的矩形區域。這時再采取閾值分割、blob分析等手段分割字符，進而就可以進行OCR了。

極坐標變換后的圖是：

圖3

其他示例

參考文獻

1. 基于HALCON的圓環區域字符識別實現
2. 基于視覺技術的圓環外觀缺陷檢測算法研究
3. 基于Halcon的指針式儀表的讀數
4. 圖片極坐標效果揭秘