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ur機械臂是六自由度機械臂，由D-H參數法確定它的運動學模型，連桿坐標系的建立如上圖所示。

轉動關節θi是關節變量，連桿偏移di是常數。

關節編號	α（繞x軸）	a（沿x軸）	θ（繞z軸）	d（沿z軸）
1	α1=90	0	θ1	d1=89.2
2	0	a2=-425	θ2	0
3	0	a3=-392	θ3	0
4	α4=90	0	θ4	d4=109.3
5	α5=-90	0	θ5	d5=94.75
6	0	0	θ6	d6=82.5

由此可以建立坐標系i在坐標系i-1的齊次變換矩陣，注意每次不管平移還是旋轉是相對于當前的運動坐標系變換，矩陣右乘

那么把DH參數代入就可以得到所有相鄰坐標系的變換矩陣

所以末端坐標系6到基座固定坐標系0的變換矩陣。那么求正解就很簡單了，只要輸入六個關節角度θi，就得到末端坐標在基坐標系的變換矩陣T。ur機械臂的視教板上末端點的坐標是用六個值[x, y, z, rx, ry, rz]表示的。前三個值[x, y, z]是三維笛卡爾坐標，表示空間位置，后三個值[rx, ry, rz]是坐標旋轉向量，表示空間姿態。我們得到的變換矩陣T怎么變成六值坐標[x, y, z, rx, ry, rz]呢？設

T的左上角的3x3矩陣是旋轉矩陣，旋轉矩陣和旋轉向量之間可以通過羅德里格斯（Rodrigues）變換進行轉換。opencv里有相應的函數調用。算法也比較簡單，不用opencv的函數自己寫代碼也不難。T的右上角3x1就是空間位置[x, y, z]。這樣有變換矩陣T得到六值坐標，完成了正解。

逆解相對要復雜一些，由末端的空間位置和姿態，計算可能的關節角度。逆解的方法有解析法，迭代法和幾何法。其中解析法用數學推導，可以得到全部根，但是計算復雜。有的機械臂可以得到無窮解，比如7軸機械臂。而ur的6軸機械臂是有有限解的。這里推導一下ur的逆解。

首先計算求變換矩陣T過程其中的一些中間矩陣。

，其中c23=cos(θ2+θ3)，s23=sin(θ2+θ3)。

由得到。計算

，，得到

等式兩邊矩陣的行列應該分別相等，由第三行第四列得到，可解得，有兩個解。這里注意寫程序的時候，求解這里的反正切是用atan2()這類的函數，返回之在(-π,+π]。而反余弦的返回值在[0,π]，從而保證在2π范圍每個解是唯一的。

由第三行第三列得，可解得，兩個解。由第三行第二列得到，可解得。

接著由

，

計算

，得出等式左邊等于

。

由，兩邊平方，令，。

同樣由，令，。

兩式相加得到，則，有兩個解。

把θ3帶入和，得，，其中t2=tanθ2。兩式消去c2，得到。

最后得到，從而得到θ4。

綜合有兩個解的情況，ur機械臂逆解總共由2x2x2=8組解。

按照上面的算法，用python寫了兩個程序，一個正解一個逆解驗證一下。工作手邊是ur3的機械臂，上面的圖和表都是ur5的，換成ur3的參數。正解算出來都沒有問題，可以和實際機械臂的空間位姿對應。可是逆解算出來8組值，好像只有四組值是對的。一直還沒理解到底是怎么回事，仔細檢查了算法和程序好像都沒有錯阿，不知道是哪里出了問題。網上也沒有找到答案，如果哪位大神知道，望不吝賜教！

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