兩向量的夾角

2017年06月20日 17:38:11 csxiaoshui 閱讀數：36764

怎么計算兩個向量間的夾角呢？

這里主要分兩種情況，對于二維向量和三維向量來分別討論。

1. 二維向量

二維向量的情況相對簡單，根據向量間的點乘關系

v1?v2=||v1||||v2||cosθ

可以得到：

θ=acos(v1?v2/||v1||||v2||)

如果調用C/C++數學庫函數acos，計算得到的結果的取值范圍在 [0,π]。

?

這里得到的夾角并不在0到360度之間（或者-180到180度），也就是說得到的結果并不能告訴我們v1

在v2前面或者v1在v2

后面，考慮到atan2函數可以用來計算出角度準確處于哪一個象限，可以用atan2來計算夾角。
計算從v2到v1的夾角公式：

θ=atan2(v2.y,v2.x)?atan2(v1.y,v1.x)

?

需要注意的是：atan2的取值范圍是[?π,π]

，在進行相減之后得到的夾角是在[?2π,2π]，因此當得到的結果大于π時，對結果減去2π，當結果小于?π時，對結果加上2π

?

2. 三維向量

2.1 使用旋轉軸和旋轉角的方式

旋轉角可以使用上面討論的方式得到：

θ=acos(v1?v2/||v1||||v2||)

旋轉軸是兩個向量的叉乘向量，長度是||v1||||v2||sin(θ)
需要注意的是在acos取值在0度和180度這兩個特殊值的時候，要注意一下，當兩個向量夾角是0度或者180度的時候，它們是平行的關系（同向或者反向），當夾角是0度時，旋轉軸可以是任意軸，因為根本就沒有旋轉。當夾角是180度的時候，旋轉軸只要和向量呈90度夾角即可，可以有無窮多個可能的選擇軸。

?

2.2 使用四元數的方式

使用四元數來旋轉一個向量，使用下面的方式：
p2 = q * p1 * conj(q)
其中：
p2 是旋轉之后的向量
p1是旋轉之前的向量
q是用來旋轉的四元數
在這里知道p2和p1，用來求解四元數還是相當麻煩的。因此一個比較好的思路仍然是使用上面旋轉軸和旋轉角的方式，不過將結論轉換成四元數罷了。
關于轉換的方式，可以參考我寫的另外一篇文章《旋轉變換（三）四元數》

參考文獻：

1. Maths - Angle between vectors
2. Maths - Trigonometry - Inverse trig functions
3. Maths - Issues with Relative Angles