鐺鐺！小秘籍來咯！

小秘籍希望大家都能輕松建模呀，數維杯也會持續給大家放送思路滴~

抓緊小秘籍，我們出發吧~

來看看認證杯（D題）！

完整內容可以在文章末尾領取！
問題重述：

在光學設備領域，當我們使用普通光學望遠鏡在弱光條件下觀察遠處目標時，光圈越大，望遠鏡中進入的光線就越多。望遠鏡的放大倍數越大，視野就越窄，圖像就越暗。然而，放大倍數越高，目標就越大，觀察到的細節就越多。為了在弱光條件下比較望遠鏡的適用性，蔡司公司采用了一種經驗公式，稱為黃昏系數，定義如下：

$TF=\sqrt{m\times d}$

其中 m 為放大倍數， d 為物鏡直徑（以毫米為單位）。

黃昏系數是一個用于比較在低光條件下使用的雙筒望遠鏡或望遠鏡的數字。黃昏系數越大，表示在弱光條件下能夠觀察到更多的細節。然而，黃昏系數有時會誤導，例如兩個望遠鏡，一個是8x56，另一個是56x8（理論上可行但實際上不存在的型號），它們的黃昏系數都是21.2。雖然8x56型號在黃昏時表現良好，但56x8型號即使在白天也完全無法使用。

現在，我們希望有一個更有用的指標，用于表達望遠鏡在低光條件下的性能，同時只使用基本參數。這將為望遠鏡的選擇提供一個性能參考。我們不考慮更詳細的反映圖像質量的性能參數，如對比度、透過率、顏色還原等。

任務：

1. 請考慮在弱光條件下人眼的視覺特性，建立一個合理的模型，提出適用于人眼直接觀察的黃昏系數算法。

2. 如果視覺接收器不是人眼而是CMOS視頻錄制設備，請考慮CMOS在弱光條件下的感應特性，建立一個合理的數學模型，提出適用于CMOS視頻錄制設備的黃昏系數算法。

任務1

問題一：新思路模型建立

考慮人眼在弱光條件下的視覺特性

1.視覺特性分析：

• 視野大小影響： 在低光條件下，擁有較大視野的望遠鏡能夠收集更多的光線，因此在一定程度上能夠提高在弱光環境下的表現。
• 適應性亮度調整： 人眼在弱光下具有適應性，可以通過瞳孔的擴大來接收更多的光。這個特性應當在新模型中得到考慮。

2. 建立新的黃昏系數算法：

考慮視野大小：

在考慮視野大小時，我們引入了一個視野因子$f$，它是一個影響視野對黃昏系數貢獻的參數。視野越大，$f$ 的值越大，對黃昏系數的影響就越顯著。

我們可以選擇一個合適的函數形式，例如 $T{F}_{new}=k\times \sqrt{m\times d\times f}$，其中 $k$是一個常數。這個函數結合了傳統的望遠鏡黃昏系數的根號形式，同時考慮了視野大小對性能的影響。

適應性亮度調整：

為了考慮人眼在低光條件下的適應性，我們引入一個亮度調整因子，這個因子反映了瞳孔擴大的程度。在弱光條件下，人眼的瞳孔會擴大以接收更多光線，從而提高對弱光環境的適應性。

因此，新的黃昏系數算法可以通過乘以適應性亮度調整因子來模擬這一效應，即 $T{F}_{new}=T{F}_{new}\times \frac{1}{\text{瞳孔因子}}$。

3. 可行性和測量方法：

視野大小的測量：

測量望遠鏡的視野大小可以通過以下步驟實現：

• 使用一個標準測量工具，如角度測量儀，測量望遠鏡的視場角。
• 將視場角轉換為視野大小的估算，使用望遠鏡的設計參數，例如焦距等。

這個過程可以在實際使用中通過標準的光學儀器進行，確保了視野大小的準確度。

瞳孔因子的測量：

測量瞳孔因子可以通過以下步驟實現：

• 在弱光條件下，使用瞳孔測量儀等設備測量人眼瞳孔的直徑。
• 在不同光照條件下進行多次測量，以獲取瞳孔因子在不同亮度下的變化。

這個過程可以使用專業的眼科設備進行，以確保測量的準確性。

4. 實例和驗證：
   • 選擇合適的實際望遠鏡數據進行驗證： 選擇幾款實際望遠鏡，使用新的黃昏系數算法和傳統算法進行對比，觀察它們在弱光條件下的表現，驗證新模型的有效性。
   • 繪制圖表和對比分析： 使用實際數據繪制圖表，展示新模型相對于傳統模型的優越性。比較在不同亮度下的黃昏系數。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltdef new_twilight_coefficient(magnification, lens_diameter, field_of_view, adaptability_factor):"""計算新的黃昏系數Parameters:magnification (float): 望遠鏡的放大倍數lens_diameter (float): 物鏡直徑（毫米）field_of_view (float): 視野大小adaptability_factor (float): 適應性亮度調整因子Returns:float: 新的黃昏系數"""tf_new = np.sqrt(magnification * lens_diameter * field_of_view) * adaptability_factorreturn tf_newdef simulate_measurements():"""模擬實驗數據Returns:Tuple[np.ndarray, np.ndarray, np.ndarray]: 放大倍數、物鏡直徑、新的黃昏系數結果"""magnifications = np.linspace(6, 12, 20)lens_diameters = np.linspace(40, 60, 20)results = np.zeros((len(magnifications), len(lens_diameters)))for i, m in enumerate(magnifications):for j, d in enumerate(lens_diameters):#見完整版

任務2

問題二：CMOS視頻錄制設備模型建立

1. CMOS感應特性分析：

1. 靈敏度： CMOS傳感器在低光條件下的靈敏度通常較低，需要考慮靈敏度對圖像質量的影響。

2. 噪聲水平： 弱光條件下，噪聲在圖像中可能更為明顯，需要考慮噪聲對圖像清晰度的影響。

3. 動態范圍： CMOS傳感器的動態范圍影響其在低光條件下捕捉細節的能力，需要綜合考慮。

2. CMOS黃昏系數算法建模：

1. 靈敏度補償： 引入一個靈敏度補償因子，以反映CMOS在弱光條件下的性能，即$T{F}_{CMOS}=\text{靈敏度}\times TF$。

2. 噪聲抑制： 引入噪聲抑制因子，以減少噪聲對圖像的影響，即 $T{F}_{CMOS}=\frac{TF}{\text{噪聲因子}}$。

3. 動態范圍適應： 引入動態范圍適應因子，考慮CMOS動態范圍對圖像質量的調整，即 $T{F}_{CMOS}=\text{動態范圍因子}\times TF$。

4. 綜合考慮： 將上述因子結合，得到CMOS的新黃昏系數算法，即$T{F}_{CMOS}=\text{靈敏度}\times \frac{TF}{\text{噪聲因子}}\times \text{動態范圍因子}$。

3. 參數定義和測量方法：

1. 靈敏度測量： 使用標準測試圖像，在不同光照條件下測量CMOS的靈敏度。

2. 噪聲水平測量： 在弱光條件下捕捉圖像，并通過圖像處理方法測量噪聲水平。

3. 動態范圍測量： 使用具有高對比度的場景，測量CMOS在不同光照條件下的動態范圍。

4. 示例驗證和圖表展示：

1. 選擇CMOS攝像頭： 選擇一個實際的CMOS攝像頭，獲取其性能參數。

2. 模擬實驗數據： 模擬不同光照條件下的黃昏系數，使用新的CMOS算法和傳統算法進行比較。

3. 繪制圖表： 使用圖表展示不同參數對CMOS黃昏系數的影響，以及新算法相對于傳統算法的優越性。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltdef cmos_twilight_coefficient(magnification, lens_diameter, field_of_view, adaptability_factor,sensitivity_factor, noise_factor, dynamic_range_factor):# 新的黃昏系數算法考慮CMOS感應特性tf_new_cmos = sensitivity_factor * np.sqrt(magnification * lens_diameter * field_of_view) / noise_factortf_new_cmos *= dynamic_range_factorreturn tf_new_cmosdef simulate_cmos_measurements():# 模擬實驗數據magnifications = np.linspace(6, 12, 20)lens_diameters = np.linspace(40, 60, 20)results_cmos = np.zeros((len(magnifications), len(lens_diameters)))for i, m in enumerate(magnifications):for j, d in enumerate(lens_diameters):# 使用一些固定的視野、適應性因子和感應特性因子進行模擬tf_new_cmos = cmos_twilight_coefficient(m, d, field_of_view=5.0, adaptability_factor=1.2,sensitivity_factor=0.8, noise_factor=1.1, dynamic_range_factor=0.9)results_cmos[i, j] = tf_new_cmosreturn magnifications, lens_diameters, results_cmosdef plot_cmos_results(magnifications, lens_diameters, results_cmos):

代碼模擬了一系列CMOS攝像頭參數的實驗數據，并使用新的CMOS黃昏系數算法計算了相應的黃昏系數。最后，通過輪廓圖可視化了不同參數下的新CMOS黃昏系數。

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