概率密度函數（PDF）是一個描述連續隨機變量取特定值的相對可能性的函數。對于正態分布的情況，其PDF有一個特定的形式，這個形式中包括了一個常數乘以一個指數函數，它假設誤差項服從均值為0的正態分布：

$$p({?}^{(i)})=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp \left(?\frac{({?}^{(i)}{)}^2}{2{\sigma }^2}\right)$$
各名詞解釋：
$p({?}^{(i)})$：這部分表示給定誤差${?}^{(i)}$的概率密度。

${\sigma }^2$：正態分布的形狀完全由兩個參數決定：均值（$\mu$）和方差（${\sigma }^2$）。均值決定了分布的中心位置，而方差（標準差的平方）決定了分布的離散程度。這里均值（$\mu$）都假設為0因此不討論。詳細解釋一下${\sigma }^2$：

1. ${\sigma }^2$是分布寬度的度量，${\sigma }^2$的數值表示數據分布的離散程度：${\sigma }^2$越大，數據分布越分散；${\sigma }^2$越小，數據分布越集中(如上圖中的鐘形越瘦)。
2. ${\sigma }^2$的計算過程：
   a.假設你有一組數據 X = { x 1 , x 2 , . . . , x n } X = \{x_1, x_2, ..., x_n\} X={x1?,x2?,...,xn?}，且已知均值$\mu$為0。
   b.計算每個數據點的平方：$x_i^2$計算了每個數據點距離均值（0）的距離的平方。
   c.計算這些平方的平均值（即方差${\sigma }^2$）：${\sigma }^2=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{x}_i^2$（即$x_i^2$求和后平均）

$\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}$：這是正態分布概率密度函數的前綴，其中 ${\sigma }^2$是方差。它的作用是確保概率密度函數（PDF）的積分——也就是函數下整個面積等于1。在數學上，這意味著對于連續概率分布，確保所有概率值的總和為1。

exp：$e$是一個重要的數學常數（自然對數的底數），約等于2.71828，而exp是$e$的冪。exp用于計算概率的指數部分，確保了大多數數據點都集中在平均值附近，而遠離均值的數據點則呈指數級減少，就是讓曲線呈“鐘形曲線（高斯分布）”。

$?\frac{({?}^{(i)}{)}^2}{2{\sigma }^2}$：這是exp指數函數內的冪，代表了${?}^{(i)}$偏離均值0的程度。

1. 由于我們假設誤差項 $?$均值為0，所以這里直接用${?}^{(i)}$。這個比例的平方表示了誤差項的值距離均值（0）的距離的平方，然后除以$2{\sigma }^2$來“標準化”這個距離。在正態分布中，這個距離的平方越大，觀測到該誤差的概率就越低。
2. 這個過程與誤差項${?}^{(i)}$的值(第$i$個數據點的誤差項)的平方成正比，這里的平方是必要的，因為我們對誤差的大小感興趣，而不管它是正的還是負的。平方確保了所有的誤差值都是非負的，且更大的誤差（無論正負）都會產生更大的平方值。
3. 與方差${\sigma }^2$的兩倍成反比，這里${\sigma }^2$表示整個數據集中的誤差項的分布寬度。方差的兩倍是概率密度函數的標準組成部分，用于“標準化”誤差項的平方，這樣不同的分布（具有不同的方差）就可以使用相同的函數形式。這里的乘以$\frac{1}{2{\sigma }^2}$類似于計算出“相對”值而不是“絕對”值，在不改變誤差項的方向的情況下，調整它的相對重要性。主要作用是：由于不同的數據集可能有不同的方差（即不同的誤差分布寬度），我們需要有一種方式來標準化這些誤差，使它們可以在統一的尺度上比較。
4. $?\frac{1}{2{\sigma }^2}$：這個負號和分母$2{\sigma }^2$一起工作，形成一個比例因子，表示一個衰減的過程，它反映了誤差項 ${?}^{(i)}$相對于方差的大小。由于是負指數，誤差項的平方越大，$e$的冪就越小，從而降低了該誤差值的概率密度。