26.對稱矩陣及正定性

1. 實對稱矩陣的特征值均為實數，并且一定存在一組兩兩正交的特征向量

   這對于單位矩陣顯然成立

   證明特征值均為實數：

   ? ???設一個對稱矩陣$A$，對于$A\vec{x}=\lambda \vec{x}$，依第$21$講的小技巧可知$A\overline{\vec{x}}=\overline{\lambda }\overline{\vec{x}}$

   ? ???左右一起轉置可得${\overline{\vec{x}}}^T{A}^T=\overline{\lambda }{\overline{\vec{x}}}^T$，利用對稱性可得${\overline{\vec{x}}}^{T}A=\overline{\lambda }{\overline{\vec{x}}}^T$，左右一起左乘$\vec{x}$可得${\overline{\vec{x}}}^{T}A\vec{x}=\overline{\lambda }{\overline{\vec{x}}}^T\vec{x}$

   ? ???而最初的等式左右一起右乘${\overline{\vec{x}}}^T$可得${\overline{\vec{x}}}^{T}A\vec{x}=\lambda {\overline{\vec{x}}}^T\vec{x}$

   ? ???所以$\overline{\lambda }{\overline{\vec{x}}}^T\vec{x}=\lambda {\overline{\vec{x}}}^T\vec{x}$，因而若${\overline{\vec{x}}}^T\vec{x}\ne 0$，則$\lambda$為實數

   ? ???下證${\overline{\vec{x}}}^T\vec{x}\ne 0$

   ? ???對于任意復數$x=a+bi$，有$\overline{x}x=(a?bi)(a+bi)=a^2+b^2=|x{|}^2$

   ? ???所以${\overline{\vec{x}}}^T\vec{x}=\left[\begin{array}{cccc}\overline{x_1}& \overline{x_2}& ?& \overline{x_n}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ?\\ x_n\end{array}\right]=|x_1{|}^2+|x_2{|}^2+?+|x_n{|}^2={\vec{x}}^2$

   ? ???又特征向量不可能是$\vec{0}$，所以${\overline{\vec{x}}}^T\vec{x}>0$，因而$\lambda$為實數

   證明一定存在一組兩兩正交的特征向量：

   ? $暫時不會證明$

   • 可以注意到證明中關鍵的條件是$A=\overline{A}$，但是對于復矩陣，如果$A={\overline{A}}^T$，那么${\overline{\vec{x}}}^{T}A=\overline{\lambda }{\overline{\vec{x}}}^T$仍成立，特征值仍一定為實數且一定存在一組兩兩正交的特征向量，這樣的復矩陣稱為共軛對稱矩陣

2. 當挑選出的那些特征向量為一組標準正交基時，對稱矩陣$A=S\Lambda S^{?1}=Q\Lambda Q^{?1}=Q\Lambda Q^T$

   這種分解展示了對稱矩陣的對稱性，即$(Q\Lambda Q^T{)}^T=(Q^T{)}^T{\Lambda }^T{Q}^T=Q\Lambda Q^T$，它在數學上稱為譜定理，在力學上稱為主軸定理

   進一步推導有

   $A=Q\Lambda Q^T=\left[\begin{array}{ccc}|& ?& |\\ {\vec{q}}_1& ?& {\vec{q}}_n\\ |& ?& |\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& ?& 0\\ ?& ?& ?\\ 0& ?& {\lambda }_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}?& {\vec{q}}_1^T& ?\\ ?& ?& ?\\ ?& {\vec{q}}_n^T& ?\end{array}\right]={\lambda }_1{\vec{q}}_1{\vec{q}}_1^T+{\lambda }_2{\vec{q}}_2{\vec{q}}_2^T+?+{\lambda }_n{\vec{q}}_n{\vec{q}}_n^T$

   因為${\vec{q}}_1,{\vec{q}}_2,?,{\vec{q}}_n$為單位向量，所以${\vec{q}}_1^T{\vec{q}}_1=?={\vec{q}}_n^T{\vec{q}}_n=1$，所以${\vec{q}}_1{\vec{q}}_1^T=\frac{{\vec{q}}_1{\vec{q}}_1^T}{{\vec{q}}_1^T{\vec{q}}_1},?,{\vec{q}}_n{\vec{q}}_n^T=\frac{{\vec{q}}_n{\vec{q}}_n^T}{{\vec{q}}_n^T{\vec{q}}_n}$，這樣就把${\vec{q}}_1{\vec{q}}_1^T,?,{\vec{q}}_n{\vec{q}}_n^T$看成了${\vec{q}}_1,{\vec{q}}_2,?,{\vec{q}}_n$的投影矩陣，因而對稱矩陣可以視為一些向量的投影矩陣的組合，這是人們理解譜定理的另一種辦法

3. 對稱矩陣的主元中正負數個數分別與其特征值中正負數的個數一致

   證明：$暫時不會證明$

   由此可以得到一種新的計算特征值的辦法，對于對稱矩陣$A$，可以得到$A?nI$的主元中正負數分別有多少，從而分別知道$A$有多少個特征值大于、小于$n$，這樣就可以把特征值逼到一定的精度內

4. 正定矩陣

   正定矩陣：一個實對稱矩陣$M$，對于任意實非零向量$\vec{x}$均滿足${\vec{x}}^{T}M\vec{x}>0$，那么$M$為正定矩陣

   • 正定矩陣的特征值和主元均為正實數

     證明： 見第$28$講

     • 正定矩陣的行列式也為正實數

   • 正定矩陣的所有子行列式均為正實數

     其中子行列式表示以該正定矩陣的第一個元素為第一個元素的子方陣的行列式

     證明：$暫時不會證明$

---

打賞

制作不易，若有幫助，歡迎打賞！