abstract

• 錐體和球體的體積公式主要通過積分的方法推導
  • 這類公式的推導中學一般不要求,只要會應用公式
  • 在高等數學中由合適和方便的工具來推導這些公式
  • 而相關的衍生幾何體例如臺體體積,可以用割補法直接推導
• 而中學中一個重要原理是祖暅原理,利用該原理可以確定或間接得到許多幾何體體積公式

祖暅原理

• 祖暅原理指出:冪勢既同,則積不容異
  • 這句話是說,加載兩個平行平面簡的兩個幾何體,被平行于這兩個平面的任意平面所截,若所截的兩個截面的面積相等,那么這兩個幾何體的體積相等
• 簡單講就是:若兩物體在任意等高處的截面面積始終相等,則兩個物體體積相等
  • 例如,取一摞紙對方在桌面上,將它們扭轉一定的角度,得到一個不規則的體積,但我們知道,扭轉前后這些紙構成的立體體積保持不變,因為高度保持不變,同一水平截面積相同,因此體積相同(祖暅原理)

推論

• 祖暅原理可以說明,等底面積,等高的兩個柱體或錐體的體積相等

  • 因此,無論是直棱柱還是斜棱柱,當它們的底面積和高都分別相等,則體積也相等
  • 因此只要知道柱體的底面積和高就可以求出柱體體積

棱錐和圓錐的體積

• 在小學我們通過比較容積的方法,驗證了圓錐的體積是等底面積,等高的圓柱體的$\frac{1}{3}$

• 事實上,用同樣體積的三個三棱錐$V_1,V_2,V_3$能夠補成一個三棱柱$V$(若$V_0$是斜棱錐,那么$V$是斜棱柱)

  • 三棱柱有6個頂點,上底面和下地面各3個點,使用的$V_1,V_2,V_3$存在相等的三角形面,例如$V_1,V_2$其中一個不含底面,拼接后得到5個頂點的多面體,再拼接$V_3$得到一個三棱柱
  • 這并不是說三棱柱都可以分割成完全相同的三個棱錐
  • 例如一個非常細長的三棱柱,則按對角線分割后,有上下底面的兩個三棱錐完全相同,但是第三個明顯與前者不同

• 再根據祖暅原理,可以說明三棱錐的體積是等面積,等高的三棱柱體積的三分之一

• 在此基礎上,可以推出錐體體積的計算公式:若錐體(包括棱錐和圓錐)底面積為$S$,高為$h$,則體積$V=\frac{1}{3}Sh$(0)

用積分的方法推導

• 一個$n$棱錐可以通過分割轉化為三棱錐問題

• 設,三棱錐的底面積為$S_0$,高為$h$

  • 設棱錐的高對應的線段,起點為棱錐頂點$A$,投影到底面$B$
  • 取$AB$上的一點$C$,記$h=AB,h^{\prime }=AC$,$k=\frac{AC}{AB}$=$\frac{h^{\prime }}{h}$(1),
    $k\in [0,1]$
  • 則過點$C$垂直于$AB$的平面截棱錐得到截面$S_1$=$k^2{S}_0$(2)
  • 將(1)代入(2),得$S_1=\frac{h^{\prime 2}}{h^2}{S}_0$(3),所以棱錐體積為${\int }_0^h{S}_1\mathrm{d}{h}^{\prime }$=${\int }_0^h\frac{h^{\prime 2}}{h^2}{S}_0\mathrm{d}{h}^{\prime }$=$\frac{S_0}{h^2}{\int }_0^h{h}^{\prime 2}\mathrm{d}{h}^{\prime }$=$\frac{S_0}{h^2}?\frac{1}{3}{h}^{\prime 3}{|}_0^h$=$\frac{1}{3}{S}_{0}h$(4)

• 對于圓錐也是類似的

• 綜上,我們有任意錐體公式,即式(0)

棱臺和圓臺的體積

• 棱臺是由棱錐被一個平行于底面的平面截取一個錐體得到的立體圖形,圓臺類似
• 因此,臺體的體可以用2個椎體的體積只差計算
  • 設棱臺的上下底面面積分別為$S^{\prime },S$;而臺體的高為$h$
  • 設臺體由棱錐$V_1$被平面截取所得包含原底面的部分,而另一部分是包含頂點的錐體$V_2$,設其高度為$t$,則$V$的高度為$t+h$
  • 從而臺體的體積$V=V_1?V_2$=$\frac{1}{3}S(t+h)?\frac{1}{3}{S}^{\prime }t$(5)
  • 而由幾何平行于相似的知識可知若設$\frac{t}{t+h}$=$k$(6),$(k>0)$,則$\frac{S^{\prime }}{S}=k^2$(7),即$k=\sqrt{S^{\prime }/S}$(8)
  • 聯立(7,8)可以求得$t$=$h(\frac{1}{1?\sqrt{S^{\prime }/S}}?1)$=$h\frac{S^{\prime }+\sqrt{S^{\prime }S}}{S?S^{\prime }}$(9)
  • 將(9)代入(5):
    • $\frac{1}{3}(St+Sh?S^{\prime }t)$=$\frac{1}{3}(Sh+(S?S^{\prime })t)$=$\frac{1}{3}(Sh+(S?S^{\prime })h\frac{S^{\prime }+\sqrt{S^{\prime }S}}{S?S^{\prime }})$=$\frac{1}{3}h(S+S^{\prime }+\sqrt{S^{\prime }S})$(10)
• 公式(10)就是臺體的體積公式

圓臺體積公式

• 當圓臺的上下底面的半徑分別為$r^{\prime },r$,高為$h$,則它的體積為$V=\frac{1}{3}\pi h(r^2+r{r}^{\prime }+r^{\prime 2})$

球體的體積

• 設球的半徑為$R$,則其體積為$\frac{4}{3}\pi R^3$
  • 球體的體積可以基于牟合方蓋和祖暅原理以及錐體體積公式得到
  • 但是過程較為繁瑣,如果使用積分的方法,可以簡單的推出這個公式
• 積分的方法推導
  • 球體可以理解為半圓旋轉一周得到的立體圖形
  • 在直角坐標系上做半徑為$R$,圓心為原點的圓,并只取其在第一象限內的部分($\frac{1}{4}$圓),記為曲線$C$,$x^2+y^2=R^2$,即$y=\sqrt{R^2?x^2}$,$(x,y?0)$
  • 令$C$繞著$x$軸旋轉一周,得到半球記為$V_0$,我們先求$V_0$的體積(仍然記為$V_0$)
  • 用空間平面$x=x_0$(垂直于$x$軸的平面)截取$V_0$的截面面積為$S(x)$=$\pi y^2$=$\pi (R^2?x^2)$
  • $V_0$=${\int }_0^{R}S(x)\mathrm{d}x$=$\pi {\int }_0^R{R}^2?x^2\mathrm{d}x$=$\pi (R^3?\frac{1}{3}{R}^3)$=$\frac{2}{3}\pi R^3$
  • 從而$V=2V_0$=$\frac{4}{3}\pi R^3$
• 事實上可以直接用旋轉體積中繞$x$軸旋轉的立體圖形的體積公式:$V_0$=$\pi {\int }_0^R{y}^2\mathrm{d}x$=$\frac{2}{3}\pi R^3$
• 還可以借助三重積分(令積分區域為球,被積函數為1)在球坐標上的計算方法來求解球的體積$V$=${\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^{\pi }\mathrm{d}?{\int }_0^a(1r^2\sin ?)\mathrm{d}r$=${\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^{\pi }\sin ?\mathrm{d}?{\int }_0^{a}1r^2\mathrm{d}r$=$2\pi ?2?\frac{a^3}{3}$=$\frac{4}{3}\pi a^3$

球體的表面積

• 利用球體的體積和微積分思想,可以求出半徑為$R$的球體的表面積為$4\pi R^2$

• 將球面微分成個$n(n\to \infty )$小區域,每個小區域邊緣和球心連線近似為一個錐體,將求的表面積設為$S$,則$\frac{1}{3}SR$=$\frac{4}{3}\pi R^3$,解得$S=4\pi R^2$