線性空間、線性運算

線性空間，也稱向量空間。

假設是一個非空集合，是一個實數域。

在中定義了一個加法：即對中任何兩個元素和，總有中另外一個元素與它們相對應，稱為和的和，記作：

在定義了一個數乘：即對實數域任何一個數和中任何一個元素，總有中另外一個元素與它們相對應，稱為和的數乘，記作：

上面定義的加法與數乘要滿足下面8條規律：

1. 元素：即對中的任何元素，
2. 負元素：即對對中的任何元素，總存在中另外一個元素，滿足，稱為的負元素。
3. 元素：即對中的任何元素，總有，稱為中的元素。
4. 加法交換律：
5. 加法結合律：
6. 數乘結合律：
7. 數乘分配律：
8. 數乘分配律：

滿足上面8條運算規律的加法與數乘運算稱為線性運算。

稱為實數域上的線性空間（也稱向量空間），V中的元素稱為向量。即定義了線性運算的集合就是向量空間。