??導向濾波（Guided Filter）是一種基于局部線性模型的濾波方法，用于圖像處理中的去噪、圖像增強和邊緣保留等任務。它結合了引導圖像（guide image）和輸入圖像來實現對輸入圖像的濾波操作。

原理

數學原理：

• 假設我們有一個引導圖像（guide image）$I$和一個輸入圖像（input image）$P$。
• 對于每個像素位置 $i$，我們想要計算輸出圖像 $Q$ 中的像素值。
• 導向濾波的目標是學習一個線性模型來估計 $Q_i$，使得 $Q_i=a_i{I}_i+b_i$。

目標函數：

• 最小化目標函數 $mi{n}_{a_i,b_i}{\sum }_{j\in {\mathcal{N}}_i}(a_i{I}_j+b_i?P_j{)}^2+?$，其中${\mathcal{N}}_i$是像素$i$的鄰域，$?$ 是一個較小的正則化參數。

線性方程求解：

• 對 $a_i$ 和$b_i$求偏導數，可以得到它們的閉式解：
  $a_i=\frac{\text{Cov}(I,P)}{\text{Var}(I)+?}$
  $b_i=\overline{P_i}?a_i\overline{I_i}$
  其中，$\text{Cov}(I,P)$是 $I$ 和$P$ 的協方差，$\text{Var}(I)$ 是$I$的方差，$\overline{I_i}$和 $\overline{P_i}$分別是$I$和$P$在像素$i$的均值。

作用和適用場景

• 去噪：導向濾波能有效地去除圖像中的噪聲，尤其是在保留邊緣信息的同時減少噪聲。
• 圖像增強：它能夠增強圖像的對比度和細節，使圖像更清晰、更鮮明。
• 邊緣保留：導向濾波可以保留圖像中的邊緣信息，在圖像處理中有助于保持邊緣的清晰度。

代碼示例

??在 Python 中，可以使用 OpenCV 庫來實現導向濾波。以下是一個簡單的示例代碼：

import cv2
import numpy as npdef guided_filter(I, P, radius, eps):mean_I = cv2.boxFilter(I, cv2.CV_64F, (radius, radius))mean_P = cv2.boxFilter(P, cv2.CV_64F, (radius, radius))mean_IP = cv2.boxFilter(I * P, cv2.CV_64F, (radius, radius))cov_IP = mean_IP - mean_I * mean_Pmean_II = cv2.boxFilter(I * I, cv2.CV_64F, (radius, radius))var_I = mean_II - mean_I * mean_Ia = cov_IP / (var_I + eps)b = mean_P - a * mean_Imean_a = cv2.boxFilter(a, cv2.CV_64F, (radius, radius))mean_b = cv2.boxFilter(b, cv2.CV_64F, (radius, radius))Q = mean_a * I + mean_breturn Q# 讀取圖像
input_image = cv2.imread('input_image.jpg', 0)
guide_image = cv2.imread('guide_image.jpg', 0)# 將圖像轉換為浮點數
input_image = np.float32(input_image) / 255.0
guide_image = np.float32(guide_image) / 255.0# 調用導向濾波函數
radius = 5
eps = 0.01
output_image = guided_filter(guide_image, input_image, radius, eps)# 顯示結果
cv2.imshow('Input Image', input_image)
cv2.imshow('Guide Image', guide_image)
cv2.imshow('Filtered Image', output_image)
cv2.waitKey(0)
cv2.destroyAllWindows()