MATLAB 代碼實現了一個基于物理信息神經網絡（Physics-Informed Neural Network, PINN）的三維波動方程求解器。以下是詳細分析：
🧠 一、主要功能
🔗 二、邏輯關聯
代碼結構清晰，分為五個主要部分：
- 問題定義與數據生成：定義方程參數、初始/邊界條件，生成訓練點。
- 神經網絡構建：構建一個全連接網絡，輸入為
(x, y, z, t)，輸出為u。 - 損失函數定義：包含 PDE 殘差、初始條件、邊界條件三部分。
- 訓練循環：使用 Adam 優化器訓練網絡。
- 可視化：繪制損失曲線、波場切片和生成傳播動畫。
📐 三、算法步驟
-
數據采樣：
- 內部點：隨機采樣
(x, y, z, t) - 初始條件點：
t=0處采樣(x, y, z) - 邊界條件點：在六個邊界面上采樣
(x, y, z, t)
- 內部點：隨機采樣
-
網絡前向傳播：
- 輸入：
[x, y, z, t]（轉換為dlarray格式，支持自動微分） - 輸出：
u(x, y, z, t)
- 輸入：
-
損失計算：
- PDE 殘差損失：使用自動微分計算二階導數，構造波動方程殘差。
- 初始條件損失：確保
u(x,y,z,0)和u_t(x,y,z,0)滿足初始條件。 - 邊界條件損失：確保邊界上
u=0。
-
反向傳播與優化：
- 使用
dlgradient計算梯度，adamupdate更新參數。
- 使用
-
可視化：
- 繪制損失曲線（對數坐標）
- 繪制
z=0平面在不同時間的波場分布 - 生成波場傳播動畫
🧪 四、技術路線
- PINN 框架：將物理方程嵌入損失函數，引導網絡學習物理規律。
- 自動微分（AD）：使用
dlgradient計算高階導數，避免數值差分誤差。 - 深度學習工具箱：使用
dlnetwork構建網絡，支持自定義訓練循環。 - 多任務損失：聯合優化 PDE 殘差、初始條件和邊界條件。
📘 五、公式原理
?? 六、參數設定
| 參數 | 值 | 說明 |
|---|---|---|
c | 1.0 | 波速 |
x_min, x_max | -1, 1 | x 范圍 |
y_min, y_max | -1, 1 | y 范圍 |
z_min, z_max | -1, 1 | z 范圍 |
t_min, t_max | 0, 1 | 時間范圍 |
N_r | 5000 | 內部殘差點數 |
N_ic | 1000 | 初始條件點數 |
N_bc | 1000 | 邊界條件點數 |
numLayers | 5 | 隱藏層數 |
numNeurons | 100 | 每層神經元數 |
numEpochs | 1000 | 訓練輪數 |
learningRate | 1e-3 | 學習率 |
💻 七、運行環境
- 軟件：MATLAB（推薦 R2024a 或更高版本）
? 總結
該代碼實現了一個完整的 PINN 求解三維波動方程的流程，結合了深度學習與物理建模，適用于無解析解或復雜邊界條件下的波動問題。通過自動微分計算高階導數，避免了傳統數值方法的離散誤差，具有較強的通用性和可擴展性。
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