一、相似

Every matrix $C=B^{?1}AB$ has the same eigenvalues as A. These C’s are similar to A.

任意一個矩陣C，滿足 $C=B^{?1}AB$ 都和A有著相同的特征值。C 和 A 是相似的。

相似具有：

• 自反性
• 對稱性
• 傳遞性

All the matrices $A=B^{?1}CB$ are “similar”，They all share the eigenvalues of C.

所有滿足 $A=B^{?1}CB$ 的矩陣都是相似的，他們的特征值相同。

證明：
$$\begin{array}{rl}& 如果Cx=\lambda x,則BC{B}^{?1}有特征值同樣為\lambda 的特征向量Bx\\ & 事實上，(BC{B}^{?1})(Bx)=\lambda (Bx)\\ & 同理可證A的特征值都是C的特征值\end{array}\text{\hspace{1em}?}$$
如果矩陣A 和 B 均可相似對角化，那么我們可以輕松判別二者是否相似。

那么不可對角化的情況呢？

二、若爾當型

1.1 認識若爾當型

(Jordan form) If A has s independent eigenvectors, it is similar to a matrix J that has s Jordan blocks $J_1,...,J_s$ on its diagonal. B contains “generalized eigenvectors”:

若爾當型(Jordan form)：如果A 有s 個線性無關的特征向量，那么 A 相似于矩陣J，J的對角線上有 s 個 若爾當塊$J_1,...,J_s$，矩陣B包含了**“廣義特征向量”**。

廣義特征向量定義如下:

一個向量 $v$ 是對應于特征值 $\lambda$ 的廣義特征向量，如果它滿足： $$(A?\lambda I{)}^{k}v=0$$ 對于某個正整數 $k\ge 1$ 成立。

當 $k>1$ 時，我們得到了一系列向量，它們構成一個若爾當鏈 (Jordan Chain)。

一個長度為 $k$ 的若爾當鏈由向量 $v\_1,v\_2,\dots ,v\_k$ 構成，它們滿足： $(A?\lambda I)v_k=v_{k?1}$

• 所有的特征向量都是廣義特征向量，但并非所有廣義特征向量都是特征向量。
• k 是使該零空間維度達到最大并穩定的最小整數（也就是 λ 對應的最大若爾當塊的階數）。
• 特征空間完全包含在廣義特征空間之中。
• 如何求解$v_k$ =>只需找到$k => v_k = N(A - \lambda I)^{k} \setminus N(A - \lambda I)^{k - 1} $

A 的若爾當型：
$$\text{?Jordan?form?of?}A{B}^{?1}AB=\left[\begin{array}{lll}{J}_1& & \\ & ?& \\ & & J_s\end{array}\right]=J$$
每一個若爾當塊 $J_i$ 主對角線上都是特征值 ${\lambda }_i$，主對角線上方恰有1個1.
$$\text{?Jordan?block?in?}J{J}_i=\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_i& 1& & \\ & ?& ?& \\ & & ?& 1\\ & & & {\lambda }_i\end{array}\right]\text{.?}$$
一個 $k\times k$ 的若爾當塊 $J\_k(\lambda )$ 就對應一個長度為 $k$ 的若爾當鏈。將這些若爾當鏈的所有向量集合在一起，就構成了若爾當基 (Jordan Basis)，也就是相似變換矩陣 $B$ 的列向量。

一些性質：

• 每一個矩陣都相似于一個若爾當型。
• 若爾當塊的數目等于線性無關特征向量的個數(幾何重數)。

如何求解若爾當型？

無需求解相似變換矩陣B

只需要知道每個特征值對應的若爾當塊的數量和大小。

步驟如下：

1. 求解所有特征值，以及其代數重數（代數重數是指特征值作為特征方程根的重數）。
2. 對每一個特征值 ${\lambda }_i$ 單獨分析，假設特征值 $\lambda$ 的代數重數是 $m$。這意味著與 $\lambda$ 相關的所有若爾當塊的階數之和必須為 $m$，關鍵在于確定塊的數量和各自的大小：
   1. 若爾當塊的數量： 對應于特征值 $\lambda$ 的若爾當塊的數量，等于該特征值的幾何重數 (Geometric Multiplicity)(即線性無關特征向量的個數)。
   2. k階若爾當塊的數量：$rank((A?\lambda I{)}^{k?1})+rank((A?\lambda I{)}^{k?1})?2rank((A?\lambda I{)}^k)$

至此，我們了解了若爾當型，并且得出 A 和 B 相似的充要條件是 A和B 有著相同的若爾當標準型。

1.2 凱萊-哈密頓定理 (Cayley-Hamilton Theorem)

凱萊-哈密頓定理 (Cayley-Hamilton Theorem)：每一個n階方陣 A，都滿足其自身的特征方程。
$$\begin{array}{rl}& 記p(\lambda )=det(A?\lambda I)\\ & 展開：p(\lambda )=\sum _{i=0}^n{c}_i{\lambda }^i\\ & 定理稱：p(A)=\sum _{i=0}^n{c}_i{A}^i=0\end{array}\text{\hspace{1em}?}$$
證明：
$$\begin{array}{rl}設A& =PJ{P}^{?1}(若爾當型)\\ A^k& =P{J}^k{P}^{?1}\\ p(A)& =\sum _{i=0}^n{c}_i{A}^i\\ & =\sum _{i=0}^n{c}_{i}P{J}^i{P}^{?1}\\ & =P(\sum _{i=0}^n{c}_i{J}^i)P^{?1}\\ & =Pp(J)P^{?1}\\ 由于，p(\lambda )& =det(A?\lambda I)=det(J?\lambda I)（相似矩陣具有相同的特征方程）\\ 可寫成& :p(\lambda )=(\lambda ?{\lambda }_1{)}^{a_1}(\lambda ?{\lambda }_2{)}^{a_2}?(\lambda ?{\lambda }_k{)}^{a_k}?,{\alpha }_k為代數重數\\ 則有& :p(J_k)=(J_k?{\lambda }_{1}I{)}^{a_1}?(J_k?{\lambda }_{k}I{)}^{a_k}?\end{array}\text{\hspace{1em}?}$$

$$\begin{array}{rl}& 我們來仔細分析其中的一個關鍵因子：(J_k?{\lambda }_{k}I)。\\ & J_k?{\lambda }_{k}I=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& & 0\\ & 0& ?& \\ & & ?& 1\\ 0& & & 0\end{array}\right)\\ & 這是一個冪零矩陣N_{m\times m},滿足N^m=0\\ & 而m\le 代數重數=\alpha \\ & 故p(J_k)=0,定理得證\end{array}\text{\hspace{1em}?}$$
一個比較實用的應用：求解矩陣的逆
$$\begin{array}{rl}& p(\lambda )={\lambda }^2?6\lambda +5\\ & A^2?6A+5I=0\\ & 5I=6A?A^2\\ & 5A^{?1}=6I?A\\ & A^{?1}=\frac{6I?A}{5}\end{array}\text{\hspace{1em}?}$$