層次分析法（AHP）筆記

一、核心概念

（一）問題本質

面對多方案、多準則決策，將復雜問題分層拆解，通過定性與定量結合，確定各因素權重，選出最優方案，比如選“微博之星”時綜合粉絲數、顏值等指標決策。

（二）關鍵步驟

建立層次結構→構造判斷矩陣→一致性檢驗→計算權重→方案評分

二、操作流程

（一）建立層次結構模型

把決策問題拆成三層：

• 目標層：決策終極目的（如選微博之星）。
• 準則層：評價方案的指標（如粉絲數、顏值、作品質量、作品數量 ）。
• 方案層：具體候選對象（如明星A、B、C ）。

以選微博之星為例，結構如下：

    目標層：微博之星  ↗─────────────↖  
準則層：粉絲數  顏值  作品質量  作品數量  ↗ ↗ ↗ ↗ ↗ ↗ ↗ ↗  
方案層：  A      B        C  

（二）構造判斷矩陣

1. 標度規則（1 - 9 標度法）：

   標度	含義	示例（粉絲數 vs 作品數量）
   1	兩因素同等重要	粉絲數和粉絲數比，標度為 1
   3	一因素比另一因素稍微重要	粉絲數比顏值稍重要，標度可設 3
   5	一因素比另一因素明顯重要	粉絲數比作品數量明顯重要，標度 5
   7	一因素比另一因素強烈重要	——
   9	一因素比另一因素極端重要	——
   2、4、6、8	相鄰標度的中間值	粉絲數比顏值“稍微 + 明顯”之間，標度 2 或 4 等
   倒數	因素 i 對 j 重要性為 aij，則 j 對 i 為 1/aij	粉絲數對作品數量標度 5，作品數量對粉絲數則為 1/5

2. 構建矩陣示例（準則層4個指標：粉絲數、顏值、作品質量、作品數量 ）：

   	粉絲數	顏值	作品質量	作品數量
   粉絲數	1	2	3	5
   顏值	1/2	1	1/2	2
   作品質量	1/3	2	1	1/2
   作品數量	1/5	1/2	2	1

   矩陣中a<sub>ij</sub>表示第i個指標相對第j個指標的重要程度，需兩兩比較所有指標填值。

（三）一致性檢驗（解決判斷矛盾）

因兩兩比較可能邏輯沖突（如顏值＜作品質量、顏值＞作品數量，但作品質量＜作品數量 ），需檢驗判斷矩陣是否“一致”。

1. 原理：
   一致矩陣滿足：a<sub>ij</sub> = a<sub>ik</sub> * a<sub>kj</sub>（如粉絲數對顏值標度2，顏值對作品質量標度1/2，則粉絲數對作品質量標度應為 2*(1/2)=1，若實際填3則矛盾 ）。
   一致矩陣的最大特征值λ<sub>max</sub> = 矩陣階數n；非一致矩陣λ<sub>max</sub> > n，且越不一致，差值越大。

2. 檢驗：

   • 1：計算一致性指標 CI
     CI = (λ<sub>max</sub> - n) / (n - 1)
     （n是判斷矩陣階數，如準則層4個指標則n=4；λ<sub>max</sub>需通過特征值計算，可用軟件/工具輔助 ）

   • 2：查平均隨機一致性指標 RI
     根據n查表（常見值）：

     n	1	2	3	4	5	6	…
     RI	0	0	0.58	0.90	1.12	1.24	…

   • 3：計算一致性比率 CR
     CR = CI / RI

     • 若CR < 0.1：判斷矩陣一致，可繼續；
     • 若CR ≥ 0.1：矩陣邏輯矛盾，需調整標度重新構建。

（四）計算權重（確定指標重要性）

常用算術平均法，步驟：

1. 列歸一化：每個元素除以其所在列的和。
   如判斷矩陣第一列[1, 1/2, 1/3, 1/5]，列和=1 + 1/2 + 1/3 + 1/5 ≈ 2.033，則歸一化后第一列：
   1/2.033 ≈ 0.492，(1/2)/2.033 ≈ 0.246，(1/3)/2.033 ≈ 0.164，(1/5)/2.033 ≈ 0.098。

2. 按行求和：歸一化后每行元素相加。
   第一行歸一化后[0.492, 0.364, 0.600, 0.500]，和為0.492+0.364+0.600+0.500=1.956。

3. 求平均權重：行和除以n（矩陣階數）。
   第一行權重=1.956 / 4 ≈ 0.489（即粉絲數權重≈48.9% ）。

   最終準則層權重（示例）：

   指標	權重
   粉絲數	0.489
   顏值	0.182
   作品質量	0.232
   作品數量	0.097

（五）方案評分（綜合權重選最優）

1. 指標歸一化：
   不同指標量綱不同（如粉絲數是“w”，顏值是“分” ），需先歸一化到[0,1]區間。
   方法：單個指標值 / 該指標所有方案值的和。
   示例（粉絲數）：
   A粉絲數6000w，B3400w，C5500w，總和=6000+3400+5500=14900，則：
   A粉絲數歸一化值=6000/14900≈0.403，B≈0.228，C≈0.369 。

2. 加權計算評分：
   每個方案的評分 = Σ（指標歸一化值 × 對應指標權重）。
   示例（明星A評分）：
   0.403×0.489 + （A顏值歸一化值）×0.182 + …，同理算B、C評分，分高者當選。

三、應用場景與優缺點

（一）適用場景

• 多準則決策（如項目選址、供應商評選 ）。
• 指標重要性難直接量化，需主觀判斷結合的場景。

（二）優點

• 結構化分解復雜問題，邏輯清晰。
• 結合定性（專家判斷）與定量（數學計算），平衡主觀與客觀。

（三）缺點

• 依賴專家經驗，主觀因素影響大。
• 指標多（n>10）時，判斷矩陣一致性難滿足，需簡化指標或分層。

四、總結

層次分析法通過“分層→判斷→檢驗→加權”，把模糊的多準則決策轉化為可計算的權重與評分，核心是判斷矩陣的合理構建和一致性檢驗，實際用需注意指標精簡、專家參與，避免主觀偏差，適合需要平衡多因素的決策場景 。