概率密度函數（PDF）與概率質量函數（PMF）說明

基本概念區分

對于連續型隨機變量，通常使用 概率密度函數 (Probability Density Function, PDF) 進行描述；這與離散型隨機變量使用的 概率質量函數 (Probability Mass Function, PMF) 有本質區別。

• PMF：可以直接代入變量值求得對應事件的概率
• PDF：代入變量值后得到的是 概率密度值，而非概率本身

連續型隨機變量的概率特性

1. 單點概率為零
   對于任意實數 $x$，$P(X=x)=0$

2. 區間概率計算
   連續型變量的概率必須通過積分計算：
   $$P(a\le X\le b)={\int }_a^{b}f(x)dx$$

3. 概率密度的物理意義
   PDF 在某點的取值反映該區域概率的 “密集程度”，其值的大小與概率成正比關系

PDF 的基本性質

1. 非負性
   $$f(x)\ge 0?x\in \mathbb{R}$$

2. 歸一性
   $${\int }_{?\infty }^{+\infty }f(x)dx=1$$

概率質量函數(PDF)和累積分布函數(CDF)

互逆關系

• 從 PDF 到 CDF：
  $$F(x)={\int }_{?\infty }^{x}f(t)dt$$

• 從 CDF 到 PDF：
  $$f(x)=\frac{d}{dx}F(x)$$

概率計算的等價性

對于任意區間 $[a,b]$，概率可表示為：很多情況計算概率時,分布函數使用起來會更簡單一些(避免積分運算);
$$\boxed{P(a<X\le b)=F(b)?F(a)={\int }_a^{b}f(x)dx}$$

均勻分布

應用場景實例

1.在java中使用new Random().nextDouble(),生成一個$[0,1]$之間的雙精度浮點型偽隨機數,數據出現在任意一個區間的可能性是相同的,換言之生成的隨機數,均勻的散布在$[0,1]$之間;
2.某公交車每30分鐘固定發車一次，乘客在任意時刻到達車站。那么乘客的候車時間在$[0,30]$分鐘之間,并且等候任意分鐘($[0,30]$)是等可能的;

定義

連續均勻分布（Uniform Distribution）的核心特征是概率密度在整個區間內恒定,即等可能性,是最簡單的連續型概率分布之一。
記法:
$$\boxed{X～U(a,b)或X～\text{Uniform}(a,b)}$$
讀作:$X$服從參數為$a,b$的連續均勻分布;

則例1記為:$X～U(0,1)$
例2記為:$X～U(0,30)$

隨機變量

連續型隨機變量$X$，其取值范圍限定在某個有限區間 $[a,b]$內，且在該區間內每個實數的取值概率密度相等。換句話說，$X$ 是取值在區間 $[a,b]$上均勻分布的隨機數。

• 例1定義$X,X\in [0,1]$是生成的隨機數的值;
• 例2定義$X,X\in [0,30]$為乘客的等候時間;

參數

連續均勻分布的參數有2個,即左右區間值$a,b$;隨機變量取值在這個區間內的概率是1;

函數表達

由定義可得

1. 在整個定義區間$[a,b]$上,概率均勻分布,即任意一個子集,若區間長度則概率相等.則概率相同
2. $P(a\le X\le b)=1$

由于概率是均勻的,則累積分布函數$F(X)$應該是線性的,并且$F(a)=0,F(b)=1$;
設$F(x)=kx+C$,并且有:
$$\{\begin{array}{l}F(a)=0\\ F(b)=1\end{array}$$
解得
$$F(x)=\frac{1}{b?a}x?\frac{a}{b?a}$$
即
$$\boxed{F(x)=\frac{x?a}{b?a}}$$
故概率密度函數$f(x)=F^{\prime }(x)$
$$\boxed{f(x)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{b?a},a\le X\le b\\ 0,其他\end{array}}$$
即,求$X$在$[m,n]$區間上的概率即:
$$\boxed{P(m\le X\le n)={\int }_m^n\frac{1}{b?a}dx=\frac{n?m}{b?a},a\le m\le n\le b}$$

分布特征值

• 期望,很好理解就是定于區間的juzn
  $$E(X)=\frac{a+b}{2}$$
• 方差$$\text{Var}(X)=\frac{(b?a{)}^2}{12}$$

推導:
對于連續型隨機變量 $X$，其概率密度函數為 $f(x)$，期望 $E(x)$定義為:
$$\begin{array}{rl}E(X)& ={\int }_{?\infty }^{+\infty }x?f(x)dx\end{array}$$
對于服從均勻分布的隨機變量$X～U(a,b)$則有:
$$\begin{array}{rl}E(X)& ={\int }_b^{a}x?\frac{1}{b?a}dx\\ & =\frac{1}{b?a}{\int }_b^{a}xdx\\ & =\frac{1}{b?a}\times {\left[\frac{x^2}{2}\right]}_a^b\\ & =\frac{1}{b?a}\times \frac{b^2?a^2}{2}\\ & =\frac{a+b}{2}\end{array}$$

方差 $\text{Var}(X)$定義為:
$$\text{Var}(X)=E(X^2)?[E(X){]}^2$$
對于服從均勻分布的隨機變量$X～U(a,b)$則有:
$$\begin{array}{rl}E(X^2)& ={\int }_b^a{x}^2?\frac{1}{b?a}dx\\ & =\frac{1}{b?a}{\int }_b^a{x}^{2}dx\\ & =\frac{1}{b?a}\times {\left[\frac{x^3}{3}\right]}_a^b\\ & =\frac{1}{b?a}\times \frac{b^3?a^3}{3}\\ & =\frac{1}{b?a}\times \frac{(b?a)(a^2+ab+b^2)}{3}\\ & =\frac{a^2+ab+b^2}{3}\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}E(X{)}^2& =(\frac{a+b}{2}{)}^2\\ & =\frac{a^2+2ab+b^2}{4}\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}\text{Var}(X)& =E(X^2)?[E(X){]}^2\\ & =\frac{a^2+ab+b^2}{3}?\frac{a^2+2ab+b^2}{4}\\ & =\frac{4a^2+4ab+4b^2?3a^2?6ab?3b^2}{12}\\ & =\frac{a^2?2ab+b^2}{12}\\ & =\frac{(b?a{)}^2}{12}\end{array}$$

自己操作試試吧,可視化查看: 連續均勻分布

例題

從區間$[0,1]$中隨機的選擇一個數,求此數小于0.4的概率?
設隨機變量$X$表示從區間$[0,1]$中隨機選擇的一個數,由題意得$X～U(0,1)$,求$P(X<0.4)$;
使用概率密度函數計算
$$P(X<0.4)={\int }_m^n\frac{1}{b?a}dx={\int }_0^{0.4}\frac{1}{1?0}dx=[x{]}_0^{0.4}=0.4$$
或使用累積分布函數計算
$$P(X<0.4)=F(0.4)=F(x)=\frac{x?a}{b?a}=\frac{0.4?0}{1?0}=0.4$$