分形與 Mandelbrot

Mandelbrot 集 (Mandelbrot Set) 是復數平面上一個點的集合，以數學家 Beno?t Mandelbrot 的名字命名。它是最著名的分形之一。一個復數 c 是否屬于 Mandelbrot 集，取決于一個簡單的迭代過程：
$$z_{n+1}=z_n^2+c$$

如果這個序列 z0?,z1?,z2?,… 的大小（模）保持在一定范圍內（具體來說，不超過 2），那么我們就說復數 c 屬于 Mandelbrot 集。如果序列的大小趨向于無窮大，那么 c 就不屬于這個集合。

當我們為復數平面上的每個點 c 運行這個迭代過程，并根據它“逃逸”到無窮大的速度（或者它是否保持有界）給它上色時，我們就會得到 Mandelbrot 集那標志性的、無限復雜的圖像。

那些“逃逸”得慢的點或者不逃逸的點，通常被涂成黑色，而那些“逃逸”得快的點，則根據它們的逃逸速度被賦予不同的顏色，從而形成了圖像中絢麗多彩的部分。

項目準備

創建一個 Rust 項目：

cargo new mandelbrot

程序需要以下依賴：

[dependencies]
clap = { version = "4.x", features = ["derive"] }
image = "0.25.1"
num = "0.4.3"

計算 Mandelbrot 迭代

計算相對而言是比較簡單的，我們需要引入 Rust 的一個數值類型庫 num，從而支持復數類型。

如果對復數不熟悉，也沒關系，就把實部想象成笛卡爾坐標系的 x 軸（橫向），虛部想象成 y 軸（只不過以 i 為單位）。

use num::Complex;fn escape_time(c: Complex<f64>, limit: usize) -> Option<usize> {let mut z = Complex { re: 0.0, im: 0.0 };for i in 0..limit {if z.norm_sqr() > 4.0 {return Some(i);}z = z * z + c;}None
}

程序上非常簡單，就是持續迭代計算 z * z + c，如果 limit 次迭代里它沒有越界，我們就認為它屬于 Mandelbrot 集合。如果超過了，就返回迭代的次數（即逃逸時間）；如果在達到上限之前都沒有超過，就返回 None，表示我們認為這個點可能屬于 Mandelbrot 集。

像素到點的映射

我們需要一種方法來將圖像中的每個像素（如 (25, 175)）映射到復數平面上的一個點（如 -0.5 - 0.75i）。

fn pixel_to_point(bounds: (usize, usize),    // 圖像尺寸 (寬, 高)pixel: (usize, usize),     // 像素坐標 (列, 行)upper_left: Complex<f64>,  // 左上角對應的復數lower_right: Complex<f64>, // 右下角對應的復數
) -> Complex<f64> {let (width, height) = (lower_right.re - upper_left.re, // 復數平面的寬度upper_left.im - lower_right.im, // 復數平面的高度);Complex {re: upper_left.re + pixel.0 as f64 * width / bounds.0 as f64,im: upper_left.im - pixel.1 as f64 * height / bounds.1 as f64,}
}

由于數學上的坐標系和計算機通常的屏幕坐標系的 y 軸方向是相反。計算機圖像通常左上角是 (0, 0)，y 軸向下增長，復平面通常 y 軸（虛部）向上增長。因此，在計算虛部 im 時，我們是從 upper_left.im 減去。

渲染圖片

要繪制 Mandelbrot 集，只需要將 escape_time 用在復平面上的點，根據逃逸時間賦以不同的灰度值。

fn render(pixels: &mut [u8],bounds: (usize, usize),upper_left: Complex<f64>,lower_right: Complex<f64>,
) {assert!(pixels.len() == bounds.0 * bounds.1);for row in 0..bounds.1 {for column in 0..bounds.0 {let point = pixel_to_point(bounds, (column, row), upper_left, lower_right);pixels[row * bounds.0 + column] = match escape_time(point, 255) {None => 0, // 屬于 Mandelbrot 集，設為黑色 (0)Some(count) => 255 - count as u8, // 不屬于，顏色與逃逸時間相關}}}
}

如果沒有逃逸，則是黑色 0，否則就根據逃逸時間賦值 255 - count。

到這里，我們就完成了核心的程序。下面的部分屬于渲染和保存。

寫入圖片

use std::fs::File;
use image::{ExtendedColorType, ImageEncoder