亞當·斯密思想精髓的數學建模與形式化表征

摘要：本文運用數學建模方法對亞當·斯密的經濟與倫理思想進行形式化表征。通過分工的規模經濟模型和市場均衡條件展現《國富論》中"看不見的手"原理；采用擴展效用函數與合作博弈均衡解釋《道德情操論》的同情心理論；最終建立混合動機均衡模型，統一自利與道德行為。研究表明，數學融智學框架能夠量化分析市場效率與倫理約束的協同作用，為政策制定和企業決策提供可計算的理論基礎。

亞當·斯密的兩部經典著作《國富論》與《道德情操論》分別從經濟效率與道德倫理的角度揭示了人類社會運行的底層邏輯。通過數學融智學的視角，我們可以將其核心思想提煉為以下公式框架，并結合實例闡釋“看不見的手”如何驅動市場均衡。

一、《國富論》的核心思想：分工與市場均衡

斯密認為，分工提升效率，而自利行為通過“看不見的手”實現社會總福利最大化。這一過程可形式化為以下模型：

1.分工的規模經濟模型
設經濟系統中有?n種商品，生產商品?i?的勞動生產率隨分工細化提升：

L_i=a_i?d_i^α(0<α<1)

L_i：生產商品?i的勞動投入

d_i：商品?i的分工程度

a_i：技術系數，α：分工彈性

實例：制針工廠的分工
若未分工時每人每天生產?10根針，分工后（d_i=10，α=0.5，a_i=1）：

L_i=1?10^0.5≈3.16?每人每天生產10/3.16≈3.16倍效率提升?

2.“看不見的手”的均衡條件
個體追求效用最大化，市場通過價格調節實現供需均衡：

max_xiU(x_1,x_2,...,x_n)s.t.∑_i=1^n?p_i?x_i≤I

U：個體效用函數

p_i：商品價格，I：收入

市場均衡時，滿足瓦爾拉斯均衡條件：

∑_i=1^n(D_i(p)?S_i(p))=0

D_i(p)：需求函數，S_i(p)：供給函數

實例：小麥市場的均衡

需求函數：D(p)=100?2p

供給函數：S(p)=20+3p

均衡價格：100?2p=20+3p?p^?=16

均衡數量：Q^?=100?2×16=68

解釋：
生產者追求利潤最大化（提高供給），消費者追求效用最大化（壓低價格），最終通過價格機制達成均衡，體現“看不見的手”的協調作用。

二、《道德情操論》的核心思想：同情心的社會協調

斯密提出，同情心（Sympathy）是社會秩序的倫理基礎，可通過博弈論中的合作均衡建模：

1.道德情感的效用函數擴展
個體效用不僅依賴自身利益，還包含對他人的關切：

U_i=u_i(x_i)+β∑_j≠i?θ_ij?u_j(x_j)

β：道德偏好強度（β>0表示利他）

θ_ij：個體?i?對?j?的同情系數

合作博弈的帕累托均衡
社會最優狀態需滿足：

?_i,??U_i/?x_i=?U_j/?x_j（邊際效用相等）

實例：公共品捐贈博弈

兩人各擁有?10?元，可捐贈?g_i元建設公共設施，總效用為：

U_i=(10?g_i)+0.5×(10?g_j)+2√g_i+g_j

均衡解：通過求導得?g_i^?=g_j^?=4，總捐贈?8元，高于純自利模型（g_i=0）。

解釋：同情心（β=0.5）促使個體合作，提升社會總福利。?

三、“看不見的手”的數學綜合：自利與同情的統一

斯密的兩大思想可通過混合動機均衡模型統一：

max_xi[u_i(x_i)+β∑_j≠i?θ_ij?u_j(x_j)]s.t.市場均衡條件?

實例：碳排放權交易市場

自利行為：企業購買碳排放權以最小化成本。

道德約束：公眾壓力（β）促使企業超額減排。

均衡結果：市場價格反映環境成本，同時社會同情心推動實際排放低于純經濟均衡水平。

四、數學融智學的整合框架

將斯密思想抽象為以下系統方程：

經濟系統：dW/dt=∑_i=1^n(?U_i/?x_i?dx_i/dt)（財富增長動力）

倫理系統：β??θ_ij≥γ（道德約束條件）

W：社會總福利

γ：社會容忍閾值

動態解釋：

當經濟效率驅動（dW/dt>0）與道德約束（β≥γ）同時滿足時，社會實現斯密式的“自然自由體系”。

總結

通過數學建模，亞當·斯密的思想可被形式化為：

分工的冪律函數與市場均衡方程體現“看不見的手”的效率邏輯；

同情心擴展的效用函數與合作博弈均衡揭示道德倫理的社會協調；

混合動機均衡模型統一自利與同情，解釋現代市場中的復雜行為（如ESG投資、社會責任消費）。

現實意義：

政策制定者可利用此類模型量化評估市場干預（如稅收）與道德倡導（如公益宣傳）的協同效應。

企業可通過調整β值（如發布社會責任報告）提升長期競爭力。

數學融智學為經濟學與倫理學的跨學科研究提供了可計算、可預測的框架。