一、求導數的原函數就是求導數的積分

1）設函數f(t)在區間[a,b]上連續，則對任意的x∈[a,b],f(t)在[a,x]上連續，從而在[a,x]上可積。令其積分為Φ(x)=∫*a^x f(t)dt, x∈[a,b],則Φ(x)為定義在區間[a,b]上的一個函數，通常稱作積分上限的函數或變上限積分，幾何意義如下：

2）變上限積分函數Φ(x)的重要性質：

定理：設函數f(x)在區間[a,b]上連續，則變上限積分Φ(x)=∫*a^x f(t)dt在[a,b]上可導，并且

? ? ? ? ? ? ?d

Φ'(x)=———∫*a^x f(t)dt=f(x),x∈[a,b].

? ? ? ? ? ? ?dx

該定理告訴我們：如果函數f(x)在[a,b]上連續，那么它在[a,b]上一定有原函數Φ(x)=∫*a^x f(t)dt.換句話說，連續函數的原函數總是存在的（連續函數必有原函數）

二、牛萊公式

設函數f(x)在區間[a,b]上連續，F(x)是f(x)在[a,b]上的一個原函數，則∫*a^b f(x)dx=F(b)-F(a).

證明：由已知及2中的定理，函數F(x)和Φ(x)=∫*a^x f(t)dt都是函數f(x)在區間[a,b]上的原函數，從而F(x)-Φ(x)=C(x∈[a,b]),其中C為一個常數。

令x=a得F(a)-Φ(a)=C.又由于Φ(a)=0,所以C=F(a)，代入上式得Φ(x)=F(x)-F(a)(x∈[a,b]),即∫*a^x f(t)dt=F(x)-F(a)(x∈[a,b]).特別地，當x=b時，即有∫*a^b f(x)dx=F(b)-F(a).

三、求導（原函數）

1）[(cosx)^4]'=-4sinx(cosx)^3

2）求導函數x√(1+2x)的原函數

求復合函數原函數采用換元法：

設u=1+2x，則x=(u-1)/2

x√(1+2x)=(u-1)/2*√u=u^(3/2)/2-u^(1/2)/2

關于u的原函數：

換回x，所以結果為：