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t檢驗詳解：原理、類型與應用指南

t檢驗（t-test）是一種用于比較兩組數據均值是否存在顯著差異的統計方法，適用于數據近似正態分布且滿足方差齊性的場景。以下從核心原理、檢驗類型、實施步驟到實際應用進行系統解析。

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一、t檢驗的核心思想

1. 原假設（H?）：兩組數據的均值無顯著差異（( \mu_1 = \mu_2 )）。
2. 備擇假設（H?）：兩組數據的均值存在顯著差異（( \mu_1 \neq \mu_2 )、( \mu_1 > \mu_2 ) 或 ( \mu_1 < \mu_2 )）。
3. 檢驗統計量（t值）：
   [
   t = \frac{\text{均值差}}{\text{標準誤}}
   ]
   • t值越大，拒絕原假設的證據越強。
4. p值：在H?成立時，觀測到當前或更極端結果的概率。若p值 < 顯著性水平（如0.05），則拒絕H?。

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二、t檢驗的三大類型及適用場景

類型	適用場景	公式（簡化版）	示例
單樣本t檢驗	檢驗單組數據均值是否等于某理論值	( t = \frac{\bar{X} - \mu_0}{s/\sqrt{n}} )	檢驗某生產線產品重量均值是否為50g
獨立樣本t檢驗	比較兩組獨立數據的均值差異（如A/B測試）	( t = \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}} )	比較兩種藥物療效差異
配對樣本t檢驗	比較同一組受試者在兩種條件下的差異（如前后測）	( t = \frac{\bar{D}}{s_D/\sqrt{n}} )（D為差值）	培訓前后員工技能評分變化

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三、t檢驗的實施步驟

1. 驗證前提條件：
   • 正態性：Shapiro-Wilk檢驗或Q-Q圖驗證數據近似正態；
   • 方差齊性（獨立樣本t檢驗）：Levene檢驗判斷兩組方差是否相等。
2. 選擇檢驗類型：根據數據特點選擇單樣本、獨立樣本或配對檢驗。
3. 計算t值與自由度（df）：
   • 獨立樣本t檢驗的df計算：
     [
     df = \frac{\left( \frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2} \right)^{2}{\frac{(s_1}2/n_1)^2}{n_1-1} + \frac{(s_2^2/n_2)2}{n_2-1}} \quad \text{（Welch校正）}
     ]
4. 確定顯著性：
   • 查t分布表或用軟件計算p值，對比預設顯著性水平（如α=0.05）。
5. 效應量計算：Cohen’s d評估差異的實際意義：
   [
   d = \frac{|\bar{X}_1 - \bar{X}2|}{s{\text{pooled}}}
   ]

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四、t檢驗的常見問題與對策

問題	解決方案	示例
數據非正態	使用非參數檢驗（如Mann-Whitney U檢驗）	收入數據右偏時替代獨立樣本t檢驗
方差不齊	采用Welch校正的t檢驗（不等方差假設）	兩組樣本量差異大時優先使用
多重比較	校正顯著性水平（如Bonferroni校正）	同時比較三組藥物療效時控制第一類錯誤率
小樣本敏感性	結合效應量與置信區間解讀結果	樣本量n=10時謹慎依賴p值

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五、t檢驗的軟件實現

1. Python：

   from scipy import stats
   # 獨立樣本t檢驗（假設方差齊性）
   t_stat, p_value = stats.ttest_ind(group1, group2)
   # Welch校正（方差不齊）
   t_stat, p_value = stats.ttest_ind(group1, group2, equal_var=False)
   # 配對樣本t檢驗
   t_stat, p_value = stats.ttest_rel(pre_test, post_test)
   

2. R語言：

   # 單樣本t檢驗
   t.test(data, mu = 50)
   # 獨立樣本t檢驗
   t.test(group1, group2, var.equal = TRUE)
   # Welch校正
   t.test(group1, group2, var.equal = FALSE)
   # 配對樣本t檢驗
   t.test(pre, post, paired = TRUE)
   

3. Excel：

   • 函數：T.TEST(array1, array2, tails, type)
     • tails=1（單尾）或2（雙尾）；
     • type=1（配對）、2（獨立方差齊）、3（獨立方差不齊）。

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六、t檢驗的應用案例

案例1：藥物療效評估

• 背景：比較新藥與安慰劑對血壓的影響（獨立樣本t檢驗）。
• 數據：
  • 新藥組（n=30）：平均收縮壓下降15 mmHg，標準差4；
  • 安慰劑組（n=30）：平均下降12 mmHg，標準差5。
• 結果：
  • t = 2.45，p = 0.017，Cohen’s d = 0.63；
  • 結論：新藥顯著降低血壓（p < 0.05），效應量中等。

案例2：培訓效果驗證

• 背景：評估培訓前后員工技能得分變化（配對樣本t檢驗）。
• 數據：
  • 培訓前平均分70（標準差10），培訓后平均分78（標準差9）；
  • 差值均值8，差值標準差3（n=25）。
• 結果：
  • t = 8 / (3/√25) = 13.33，p < 0.001，Cohen’s d = 2.67；
  • 結論：培訓顯著提升技能（極強效應）。

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七、總結

t檢驗是統計學中均值差異檢驗的核心工具，其價值在于：

• 廣泛適用：涵蓋單組、獨立組與配對組比較；
• 結果直觀：通過p值與效應量量化差異顯著性；
• 靈活擴展：結合方差分析（ANOVA）處理多組比較。

正確應用t檢驗需嚴格驗證前提假設（正態性、方差齊性），并結合領域知識解讀結果的實際意義。