在計算流體力學（CFD）中，動量方程可以寫成守恒形式和非守恒形式，兩者在數學上等價，但推導方式和應用場景不同。以下是對非守恒形式的詳細解釋：

---

1. 動量方程的守恒形式

首先回顧守恒形式的動量方程（以不可壓縮流體為例）：
$$\frac{?(\rho \mathbf{u})}{?t}+??(\rho \mathbf{u}?\mathbf{u})=??p+??\mathbf{\tau }+\mathbf{f}$$
其中：

• (\rho) 為密度，(\mathbf{u}) 為速度矢量，
• (p) 為壓力，(\boldsymbol{\tau}) 為粘性應力張量，
• (\mathbf{f}) 為體積力（如重力）。

---

2. 非守恒形式的推導

非守恒形式通過對守恒形式展開并利用連續性方程得到。步驟如下：

(1) 展開守恒形式的對流項

對流項 (\nabla \cdot (\rho \mathbf{u} \otimes \mathbf{u})) 可以展開為：
$$??(\rho \mathbf{u}?\mathbf{u})=\rho (\mathbf{u}??)\mathbf{u}+\mathbf{u}\left[??(\rho \mathbf{u})\right]$$

(2) 代入連續性方程

連續性方程為：
$$\frac{?\rho }{?t}+??(\rho \mathbf{u})=0$$
若流動為不可壓縮（(\nabla \cdot \mathbf{u} = 0)）或定常（(\frac{\partial \rho}{\partial t} = 0)），則 (\nabla \cdot (\rho \mathbf{u}) = 0)，此時對流項簡化為：
$$??(\rho \mathbf{u}?\mathbf{u})=\rho (\mathbf{u}??)\mathbf{u}$$

(3) 得到非守恒形式

將展開后的對流項代回守恒形式，并假設密度恒定（(\rho) 為常數），動量方程變為：
$$\rho \left(\frac{?\mathbf{u}}{?t}+(\mathbf{u}??)\mathbf{u}\right)=??p+??\mathbf{\tau }+\mathbf{f}$$
這就是非守恒形式的動量方程（又稱Lagrangian形式或物質導數形式）。

---

3. 關鍵特點

1. 物質導數：
   方程左側的 (\frac{D\mathbf{u}}{Dt} = \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u}) 表示速度的物質導數，描述流體微元的加速度。

2. 適用條件：

   • 適用于不可壓縮流動或密度變化可忽略的流動。
   • 若密度變化顯著（如可壓縮流動），需保留守恒形式以確保數值穩定性。

3. 物理意義：
   非守恒形式直接體現牛頓第二定律（(F=ma)），即流體微元的加速度由壓力梯度、粘性力和體積力共同驅動。

---

4. 與守恒形式的對比

特性	非守恒形式	守恒形式
數學基礎	基于物質導數推導	基于控制體的積分守恒定律
數值穩定性	對可壓縮流可能不穩定	更適合可壓縮流和高馬赫數問題
計算效率	對流項計算更簡單	需要處理通量項（如 (\rho u^2)）
適用場景	不可壓縮流、低馬赫數流動	可壓縮流、激波捕捉

---

5. 典型應用示例

• 不可壓縮流動（如泊肅葉流動、渦流模擬）：常用非守恒形式，因 (\nabla \cdot \mathbf{u} = 0) 天然滿足。
• 可壓縮流動（如超音速飛行器模擬）：必須使用守恒形式以正確捕捉激波和密度突變。

---

6. 注意事項

• 數值離散：非守恒形式在對流項離散時需注意數值耗散，可能需高階格式（如WENO）減少誤差。
• 邊界條件：非守恒形式的壓力邊界條件處理可能更復雜，需與連續性方程耦合求解。

通過理解非守恒形式的推導和物理意義，可以更靈活地選擇適合具體問題的CFD方程形式。