連續型隨機變量

數學公式可以看作一門精確描述事物的語言，比語言尤其是漢語的模糊性精確多了！離散型數據的處理可以通過枚舉和相加進行處理。而連續型數據則沒有辦法這樣處理。我們必須要通過函數和取值區間還有微積分計算。

［定義1］　若對于隨機變量X的分布函數F（x）?，存在非負可積函數f（x）?，使得對于任意實數x，有

則稱X為連續型隨機變量，稱f（x）為X的概率密度函數，簡稱為概率密度或密度函數，記為X～f（x）.概率密度函數的圖形稱為X的密度曲線.根據定義可知概率密度具有以下性質：

①f（x）≥0；

②

反之，若一個函數滿足上述性質，則該函數可以作為某個連續型隨機變量的概率密度函數.連續型隨機變量分布函數有以下性質.

①對于一個連續型隨機變量X，若已知它的概率密度f（x）?，根據定義可以求得分布函數F（x）?，同時可以通過密度函數的積分來求X落在任何區間上的概率，即

②連續型隨機變量X取任一指定值a（a∈R）的概率為0，因為:

因此，對連續型隨機變量X，有

P{a<X≤b}=P{a≤X<b}=P{a<X<b}=P{a≤X≤b}

由此性質可見，連續型隨機變量X取任意值a的概率為0，這說明概率為零的事件不一定是不可能事件.同樣，概率為1的事件也不一定是必然事件.

③若f（x）在x處連續，則有

F'（x）=f（x)

設隨機變量X的概率密度為

（1）求系數c；
（2）求X的分布函數；
（3）求P{2<X≤3.5}.

（1）根據概率密度的性質有

解得c = 1/6。所以密度函數為

當x<0時

當0≤x<3時

當3≤x≤4時

當x>4時

幾種常用的連續分布

均勻分布

［定義2］　若連續型隨機變量X的概率密度為

稱X服從區間［a，b］上的均勻分布，記作X～U［a，b］.

由定義可知：?
（1）f（x）≥0；?

（2）

均勻分布的分布函數為

對于任意的x1，x2∈［a，b］（x1<x2）?，有

這表明均勻分布的隨機變量X落入［a，b］任意子區間的概率與該子區間的長度成正比，而與子區間的位置無關.