牛頓迭代法的正確流程解釋

是的，你的理解基本正確！但需要更準確地描述內外力的關系和迭代邏輯。以下是更清晰的步驟說明：

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核心流程（修正版）

假設已知 外力 ( F_{\text{ext}} )（如2000 N），目標是找到位移 ( u )，使得 內力 ( F_{\text{int}}(u) ) 等于外力 ( F_{\text{ext}} )。迭代過程如下：

1. 初始猜測：假設位移 ( u_0 )（例如 ( u_0 = 0 )）。

2. 計算內力：根據當前位移 ( u_n )，代入公式計算內力：
   [
   F_{\text{int}}(u_n) = k \cdot u_n + c \cdot u_n^3
   ]
   （這里內力是位移的函數，且參數 ( k )、( c ) 為常數）

3. 計算殘差（誤差）：
   殘差 = 外力 - 內力：
   [
   R_n = F_{\text{ext}} - F_{\text{int}}(u_n)
   ]
   殘差的意義：如果 ( R_n = 0 \，說明內力與外力平衡，位移 ( u_n ) 就是真實解。

4. 判斷收斂：
   若 ( |R_n| < \text{容差} )（如1 N），停止迭代，當前 ( u_n ) 即為解。
   否則繼續下一步。

5. 計算切線剛度：
   切線剛度是內力對位移的導數，表示系統的局部“軟硬程度”：
   [
   K_T = \frac{dF_{\text{int}}}{du} = k + 3c \cdot u_n^2
   ]

6. 求解位移增量：
   根據局部線性近似，計算位移調整量：
   [
   \Delta u = \frac{R_n}{K_T}
   ]

7. 更新位移：
   [
   u_{n+1} = u_n + \Delta u
   ]

8. 重復步驟2-7，直到收斂。

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為什么你的說法需要修正？

1. 外力是已知的：
   ( F_{\text{ext}} ) 是固定值（如2000 N），無需在迭代中計算。需要計算的是 當前位移對應的內力 ( F_{\text{int}}(u_n) )。

2. 殘差是外力與內力的差值：
   迭代的目標是通過調整位移 ( u )，使得 ( F_{\text{int}}(u) \to F_{\text{ext}} )，即殘差 ( R \to 0 )。

3. 參數為常數的意義：
   即使參數 ( k )、( c ) 是常數，系統仍可能因非線性項（如 ( u^3 )）呈現非線性行為，必須通過迭代求解。

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示例迭代過程（參數為常數）

已知：

• ( F_{\text{ext}} = 2000 , \text{N} )
• ( F_{\text{int}}(u) = 1000u + 500u^3 )
• 初始猜測 ( u_0 = 0 )

第1次迭代：

1. 計算內力：
   ( F_{\text{int}}(0) = 0 , \text{N} )
2. 殘差：
   ( R_0 = 2000 - 0 = 2000 , \text{N} )
3. 切線剛度：
   ( K_T = 1000 + 3 \cdot 500 \cdot 0^2 = 1000 , \text{N/m} )
4. 位移增量：
   ( \Delta u = 2000 / 1000 = 2 , \text{m} )
5. 更新位移：
   ( u_1 = 0 + 2 = 2 , \text{m} )

第2次迭代：

1. 計算內力：
   ( F_{\text{int}}(2) = 1000 \cdot 2 + 500 \cdot 8 = 2000 + 4000 = 6000 , \text{N} )
2. 殘差：
   ( R_1 = 2000 - 6000 = -4000 , \text{N} )
3. 切線剛度：
   ( K_T = 1000 + 3 \cdot 500 \cdot 4 = 7000 , \text{N/m} )
4. 位移增量：
   ( \Delta u = -4000 / 7000 \approx -0.571 , \text{m} )
5. 更新位移：
   ( u_2 = 2 - 0.571 \approx 1.429 , \text{m} )

第3次迭代：

1. 計算內力：
   ( F_{\text{int}}(1.429) \approx 1000 \cdot 1.429 + 500 \cdot 2.92 \approx 2889 , \text{N} )
2. 殘差：
   ( R_2 \approx 2000 - 2889 = -889 , \text{N} )
3. 繼續迭代直至 ( |R| < 1 , \text{N} )。

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總結

• 外力固定：( F_{\text{ext}} ) 是已知輸入，無需重新計算。
• 內力隨位移變化：通過調整位移 ( u )，使得 ( F_{\text{int}}(u) ) 逼近 ( F_{\text{ext}} )。
• 迭代本質：用局部線性化（切線剛度）逐步逼近非線性解。

這種方法就像“用彈簧的當前軟硬程度，推測需要再拉長多少才能平衡外力”，重復修正直到誤差可忽略。