1、引言

今天，我們將深入探討機器學習中的三個關鍵概念：線性回歸、代價函數和梯度下降。這些概念構成了許多機器學習算法的基礎。起初，我決定不寫一篇關于這些主題的文章，因為它們已經被廣泛涉及。不過，我改變了主意，因為理解這些概念對于理解神經網絡等更高級的主題至關重要。

閑話少說，我們直接開始吧！

2、問題引入

與任何機器學習問題一樣，我們首先要回答一個具體的問題。在本例中，我們的朋友馬克正在考慮出售他 2400 平方英尺的房子，并向我們尋求幫助，以確定最合適的掛牌價格。

憑直覺，我們首先要查找朋友所在社區的同類房屋。經過一番挖掘，我們找到了附近三棟房子的清單，并查看了它們的售價。當然，一個典型的數據集會有數千甚至數萬個數據點，但我們只用這三棟房子就夠了。

接著，讓我們來繪制這些數據：

通過觀察數據，房屋價格似乎與房屋面積呈線性關系。為了模擬這種關系，我們可以使用一種稱為線性回歸的機器學習技術。這需要在散點圖上畫出一條最能代表數據點模式的線。我們的模型可能是這樣的：

根據這條線，2400 平方英尺的房子應該賣多少錢？

大概$260,000。這就是答案。

現在最大的問題是：我們如何確定數據的最佳擬合線？

3、 確認最佳擬合方程

經過上述分析，我們的問題轉化為如何確定數據的最佳擬合線？我畫的線可能有點偏，就像這樣：

我們可以清楚地知道，這種情況下對數據的擬合程度遠不如第一種情形。要找出最佳的擬合線，我們首先要做的就是用數學方法來衡量一條糟糕的線。

讓我們來看看這條 "相對糟糕 "的擬合線，根據這條線，一棟 2000 平方英尺的房子應該賣 14 萬美元，而我們知道它實際上賣了 30 萬美元：

線上其他數值也有明顯差異：

平均而言，這條線的上預測差額約為 94,000 美元（50,000 美元 + 160,000 美元 + 72,000 美元/3）。

事實上，我們有預測差額更小的預測線，如下：

這條線路的平均預測差額約為 44 000 美元，這要好得多。這 4.4 萬美元被稱為使用這條線的cost。cost就是用來衡量這條線與真實數據的偏差程度。與真實數據偏差最小或cost最低的預測線就是最佳選擇。要找出哪條線是最佳線，我們需要使用損失cost函數。

4、損失函數

以上章節我們利用平均絕對誤差 (MAE) 代價函數來確定實際房價與預測房價的偏差。這基本上是計算實際房價（用 y 表示，因為它代表 y 軸上的值）與預測房價（用 ? 表示）偏離程度的平均值。我們可以這樣用以下數學公式來計算 MAE：

注：在計算 MAE 時使用絕對值，因為絕對值可確保預測值與實際值之間的差值始終為正值，無論預測值是高還是低。這樣就可以公平地比較不同預測值之間的誤差，因為如果不采用絕對值，正負差值就會抵消。

根據不同機器學習算法，我們可以采用不同類型的成本代價函數，也叫損失函數。對于我們的問題，我們將不使用 MAE，而是采用一種更加常用的方法，即平均平方誤差 (MSE)，它計算的是預測房價與實際房價之差的平方平均數。

歸根結底，任何代價函數的目的都是使其取值最小化，并盡可能降低損失。

5、 直線方程

在深入研究損失函數之前，讓我們先回顧一下基礎知識。下面是一條直線的示例：
y = 1 + 2x，第一項數字稱為截距，它告訴我們起始線應該有多高。

第二項告訴我們直線的角度（或專業術語，斜率）：

既然我們已經理解了直線方程的工作原理，那么我們只需要確定這兩個值的最佳值–斜率和截距，就可以得到線性回歸問題的最佳擬合線。為了讓事情變得更簡單，讓我們假設我們已經神奇地得到了斜率值 0.069。因此，我們的線性回歸線方程如下：

要獲得某一面積房屋的預測價格，我們只需輸入截距值和所需房屋面積。例如，如果房屋面積為 1000 平方英尺，截距為 0時，如下：

得出預測房價為 69,000 美元。因此，我們現在要做的就是找到截距的最佳值，從而得到線性回歸模型。

6、求解截距

如何來求解截距呢？有一種方法（我們很快就會發現這種方法非常乏味，而且并不有趣）是"暴力枚舉"，即反復猜測截距值，畫一條 LR 線，然后計算 MSE。為了實驗起見，讓我們嘗試一下這種方法。
首先隨機猜測一個截距值（從 0 開始），然后繪制直線：

然后我們計算這條線的 MSE：

為了獲得直觀的理解，讓我們在圖表上繪制截距值和相應的 MSE：

接下來，我們將測試另一個截距值（比如 25），繪制相應的直線，并計算 MSE。

我們可以用不同的截距值（0、25、50、75、100、125、150 和 175）繼續這一過程，直到最后得到如下圖形：

從圖中繪制的點可以看出，當截距設置為 100 時，MSE 最低。不過，在 75 和 100 之間可能還有另一個截距值，會導致更低的 MSE。尋找最小 MSE 的一種緩慢而痛苦的方法是，如下圖所示，為截距設置更多的值：

盡管我們做出了努力，但仍無法確定我們已經找到了最低的 MSE 值。測試多個截距值的過程既繁瑣又低效。幸運的是，梯度下降可以幫助我們解決這個問題，以更高效的方式找到最優解。這正是我們將在本系列第二部分中探討的問題！