二維仿射變換筆記

1. 數學基礎

1.1 變換矩陣

二維仿射變換使用3x3的齊次坐標矩陣表示：

[a b tx]
[c d ty]
[0 0 1 ]

其中：

• [a b; c d] 是線性變換部分，表示旋轉、縮放和錯切
• [tx; ty] 是平移部分
• 最后一行 [0 0 1] 是齊次坐標的固定形式

1.2 基本變換

1.2.1 平移變換

將點沿x軸移動tx，沿y軸移動ty：

x' = x + tx
y' = y + ty

變換矩陣：

[1 0 tx]
[0 1 ty]
[0 0 1 ]

1.2.2 旋轉變換

將點繞原點旋轉角度θ：

x' = x·cosθ - y·sinθ
y' = x·sinθ + y·cosθ

變換矩陣：

[cosθ -sinθ 0]
[sinθ  cosθ 0]
[0     0    1]

1.2.3 縮放變換

將點沿x軸縮放sx倍，沿y軸縮放sy倍：

x' = sx·x
y' = sy·y

變換矩陣：

[sx 0  0]
[0  sy 0]
[0  0  1]

1.2.4 錯切變換

1. 沿x軸錯切：

x' = x + kx·y
y' = y

變換矩陣：

[1 kx 0]
[0 1  0]
[0 0  1]

2. 沿y軸錯切：

x' = x
y' = y + ky·x

變換矩陣：

[1  0 0]
[ky 1 0]
[0  0 1]

1.2.5 反射變換

1. 關于x軸反射：

x' = x
y' = -y

變換矩陣：

[1  0  0]
[0  -1 0]
[0  0  1]

2. 關于y軸反射：

x' = -x
y' = y

變換矩陣：

[-1 0 0]
[0  1 0]
[0  0 1]

3. 關于原點反射：

x' = -x
y' = -y

變換矩陣：

[-1 0  0]
[0  -1 0]
[0  0  1]

4. 關于直線y = kx反射：

• 先將直線旋轉到x軸
• 關于x軸反射
• 再旋轉回原位置

1.3 復合變換

多個變換的組合通過矩陣乘法實現：

M = M1·M2·...·Mn

注意：變換的順序很重要，通常先縮放，再旋轉，最后平移。

1.4 逆變換

對于可逆變換，其逆變換的矩陣是原矩陣的逆：

M^(-1) = [A^(-1) -A^(-1)·t][0       1       ]

其中A是線性變換部分，t是平移部分。

2. 代碼實現

2.1 頭文件 (affine2d.h)

#ifndef AFFINE2D_H
#define AFFINE2D_H#include <cmath>
#include "point2d.h"
#include "vector2d.h"/*** @brief 二維仿射變換類* * 實現了二維平面中的各種變換，包括：* - 平移變換：將點沿指定方向移動* - 旋轉變換：將點繞原點旋轉* - 縮放變換：將點沿坐標軸縮放* - 錯切變換：將點沿坐標軸錯切* - 反射變換：關于坐標軸、原點或任意直線的反射* - 復合變換：多個變換的組合*/
class Affine2D {
public:/*** @brief 默認構造函數，創建單位變換* * 單位變換的矩陣為：* [1 0 0]* [0 1 0]* [0 0 1]*/Affine2D();/*** @brief 使用矩陣元素構造變換* @param a,b,c,d 線性變換部分的4個元素* @param tx,ty 平移部分的2個元素*/Affine2D(double a, double b, double c, double d, double tx, double ty);/*** @brief 創建平移變換* @param tx x方向平移量* @param ty y方向平移量* @return 平移變換*/static Affine2D translation(double tx, double ty);/*** @brief 創建旋轉變換* @param angle 旋轉角度（弧度）* @return 旋轉變換*/static Affine2D rotation(double angle);/*** @brief 創建縮放變換* @param sx x方向縮放因子* @param sy y方向縮放因子* @return 縮放變換* @throw std::invalid_argument 當縮放因子為0時拋出*/static Affine2D scaling(double sx, double sy);/*** @brief 創建沿x軸的錯切變換* @param kx x方向錯切因子* @return 錯切變換*/static Affine2D shearX(double kx);/*** @brief 創建沿y軸的錯切變換* @param ky y方向錯切因子* @return 錯切變換*/static Affine2D shearY(double ky);/*** @brief 創建關于x軸的反射變換* @return 反射變換*/static Affine2D reflectionX();/*** @brief 創建關于y軸的反射變換* @return 反射變換*/static Affine2D reflectionY();/*** @brief 創建關于原點的反射變換* @return 反射變換*/static Affine2D reflectionOrigin();/*** @brief 創建關于直線的反射變換* @param k 直線斜率* @return 反射變換*/static Affine2D reflection(double k);/*** @brief 變換點* @param point 要變換的點* @return 變換后的點*/Point2D transform(const Point2D& point) const;/*** @brief 變換向量* @param vector 要變換的向量* @return 變換后的向量*/Vector2D transform(const Vector2D& vector) const;/*** @brief 與另一個變換組合* @param other 另一個變換* @return 組合后的變換*/Affine2D compose(const Affine2D& other) const;/*** @brief 求逆變換* @return 逆變換* @throw std::runtime_error 當變換不可逆時拋出*/Affine2D inverse() const;// 屬性訪問器double getA() const { return a; }double getB() const { return b; }double getC() const { return c; }double getD() const { return d; }double getTx() const { return tx; }double getTy() const { return ty; }private:double a, b;  // 線性變換部分的第一行double c, d;  // 線性變換部分的第二行double tx, ty