函數[x]和{x}的定義與基本性質（定義1，命題1）

定義1

設$x\in \mathbb{R}$,定義$[x]$等于不超過$x$的最大整數，稱函數$[x]$為取整函數或高斯函數。

另外也稱$[x]$為$x$的整數部分， { x } = x ? [ x ] \{x\}=x-[x] {x}=x?[x]為$x$的小數部分。

例1

計算下列的值

1. $[\pi ],[e],[?\pi ],[\frac{2}{3}],[\frac{3}{5}],[?\frac{3}{5}],[5],[3];$
2. { 5 } , { ? 3 } , { π } , { 2 } , ? π \{5\}, \{-3\},\{\pi\},\{\sqrt{2}\},{-\pi} {5},{?3},{π},{2 ?},?π

$[\pi ]=3,[e]=2,[?\pi ]=?4,[\frac{2}{3}]=[\frac{3}{5}]=0,[?\frac{3}{5}]=?1,[5]=5,[3]=3$

{ 5 } = 5 ? [ 5 ] = 0 , { ? 3 } = ? 3 ? [ ? 3 ] = 0 , { π } = π ? [ π ] = π ? 3 \{5\}=5-[5]=0,\{-3\}=-3-[-3]=0,\{\pi\}=\pi-[\pi]=\pi-3 {5}=5?[5]=0,{?3}=?3?[?3]=0,{π}=π?[π]=π?3

{ 2 } = 2 ? 1 , { ? π } = ? π ? [ ? π ] = 4 ? π \{\sqrt{}2\}=\sqrt{2}-1, \{-\pi\}=-\pi-[-\pi]=4-\pi { ?2}=2 ??1,{?π}=?π?[?π]=4?π

按數軸來說，是向左邊最接近的那個數取整。

下面來說一下它們的性質，看命題1

命題1

函數$[x]$和 { x } \{x\} {x}具有下列性質：

1. x = [ x ] + { x } ; x=[x]+\{x\}; x=[x]+{x}; 這個是顯然的，一個數等于小數部分加整數部分

2. [ x ] ≤ x < [ x ] + 1 , x ? 1 < [ x ] ≤ x , 0 ≤ { x } < 1 ; [x]\le x < [x]+1,\ x-1<[x]\le x,\ 0 \le \{x\} <1; [x]≤x<[x]+1,?x?1<[x]≤x,?0≤{x}<1; 前兩個可以合并$x?1<[x]\le x<[x]+1$

3. 設$n\in \mathbb{Z},$則$[n+x]=n+[x];$

4. [ x ] + [ y ] ≤ [ x + y ] , { x } + { y } ≥ { x + y } ; [x]+[y]\le [x+y],\{x\}+\{y\}\ge \{x+y\}; [x]+[y]≤[x+y],{x}+{y}≥{x+y};

5. $[?x]=\{\begin{array}{ll}?[x]?1,& x\notin \mathbb{Z}\\ ?[x],& x\in \mathbb{Z}\end{array};$

6. (帶余除法)設$a,b\in \mathbb{Z},b>0,$則：

   a = b [ a b ] + b { a b } , 0 ≤ b { a b } ≤ b ? 1 a=b[\frac{a}{b}]+b\{\frac{a}{b}\},0\le b\{\frac{a}{b}\} \le b-1 a=b[ba?]+b{ba?},0≤b{ba?}≤b?1

7. 若$a,b\in {\mathbb{Z}}_{+}$,則$b$的倍數中小于等于$a$的正整數的個數為$[\frac{a}{b}]$;

8. 若$x\le y,$則$[x]\le [y]$

來證一下4,6,7

• 證4：
• 由1， x = [ x ] + { x } , y = [ y ] + { y } , x + y = [ x ] + [ y ] + { x } + { y } x=[x]+\{x\},y=[y]+\{y\},x+y=[x]+[y]+\{x\}+\{y\} x=[x]+{x},y=[y]+{y},x+y=[x]+[y]+{x}+{y}
• 兩邊同時取整，再由3和$[x]$和$[y]$均為整數可得
• [ x + y ] = [ [ x ] + [ y ] + { x } + { y } ] = [ x ] + [ y ] + [ { x } + { y } ] [x+y]=[[x]+[y]+\{x\}+\{y\}]=[x]+[y]+[\{x\}+\{y\}] [x+y]=[[x]+[y]+{x}+{y}]=[x]+[y]+[{x}+{y}]
• 再由 0 ≤ { x } < 1 , 0 ≤ { y } < 1 0\le \{x\} <1,0 \le \{y\}<1 0≤{x}<1,0≤{y}<1知 [ { x } + { y } ] ≥ 0 [\{x\}+\{y\}] \ge 0 [{x}+{y}]≥0
• 故$[x+y]\ge [x]+[y]$
• 那么很容易的由 { x } = x ? [ x ] , { y } = y ? [ y ] \{x\}=x-[x],\{y\}=y-[y] {x}=x?[x],{y}=y?[y]
• 故 { x } + { y } = x ? [ x ] + y ? [ y ] = x + y ? ( [ x ] + [ y ] ) \{x\}+\{y\}=x-[x]+y-[y]=x+y-([x]+[y]) {x}+{y}=x?[x]+y?[y]=x+y?([x]+[y])
• 由前面已經證過的$?[x+y]\le ?([x]+[y])$
• 得 x + y ? ( [ x ] + [ y ] ) ≥ x + y ? ( [ x + y ] ) = { x + y } x+y-([x]+[y]) \ge x+y - ([x+y])=\{x+y\} x+y?([x]+[y])≥x+y?([x+y])={x+y}由 { x } \{x\} {x}的定義
• 故 { x } + { y } ≥ { x + y } \{x\}+\{y\} \ge \{x+y\} {x}+{y}≥{x+y}

下面來證6：

• a = b ? a b = b ( [ a b ] + { a b } ) = b [ a b ] + b { a b } a=b \cdot \frac{a}{b}=b([\frac{a}{b}]+\{\frac{a}{b}\})=b[\frac{a}{b}]+b\{\frac{a}{b}\} a=b?ba?=b([ba?]+{ba?})=b[ba?]+b{ba?}
• 對于$a,b>0$我們使用一下帶余除法，有$a=bq+r,0\le r<b$
• 則兩個對應兩兩相等 q = [ a b ] , r = b { a b } q=[\frac{a}{b}],r=b\{\frac{a}{b}\} q=[ba?],r=b{ba?}
• 則 0 ≤ b { a b } < b 0 \le b\{\frac{a}{b}\}<b 0≤b{ba?}<b右邊那個$<b$可以寫成$\le b?1$

然后來證7

• b > 0 , b , 2 b , 3 b , … , n b ≤ a = b [ a b ] + b { a b } b>0,b,2b,3b,\dots,nb \le a=b[\frac{a}{b}]+b\{\frac{a}{b}\} b>0,b,2b,3b,…,nb≤a=b[ba?]+b{ba?}即個數 n ≤ [ a b ] + { a b } n\le [\frac{a}{b}]+\{\frac{a}{b}\} n≤[ba?]+{ba?}
• 又 0 ≤ { a b } < 1 0 \le \{\frac{a}{b}\} <1 0≤{ba?}<1 所以$n$最大取$[\frac{a}{b}]$
• 所以$n=[\frac{a}{b}]$

函數[x]和{x}的應用（定理1，推論1-推論3）

例2

求$8!$的標準分解式中素因子$2,3,5$的指數

$$\begin{gathered} 8!=1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6\times 7\times 8 \\ =2^1\times 3^1\times 2^2\times 5^1\times 2^1\times 3^1\times 7\times 2^3 \\ =2^7\times 3^2\times 5^1\times 7^1 \end{gathered}$$

容易看出分別為$7,2,1$即$h_2=7,h_3=2,h_5=1$

下面給出一個定理

定理1

在$n!$的標準分解式中質因數$p(p\le n)$的指數

$$h=[\frac{n}{p}]+[\frac{n}{p^2}]+?=\sum _{r=1}^{\infty }[\frac{n}{p^r}]$$

注解5

若$p^s>n,$則$[\frac{n}{p^s}]=0$,故上式只有有限項不為0，因而是有意義的。

我們先用這個定理來驗證一下例2

$h_2=[\frac{8}{2^1}]+[\frac{8}{2^2}]+[\frac{8}{2^3}]=4+2+1=7$

$h_3=[\frac{8}{3^1}]=2$

$h_5=[\frac{8}{5^1}]=1$

容易由定理1得到下面的推論1

推論1

$$n!=\prod _{p\le n}{p}^{\sum _{r=1}^{\infty }[\frac{n}{p^r}]}$$

其中${\prod }_{p\le n}$表示展布在不超過$n$的一切素數上的乘積式

即不超過$n$的素數$p$,將它們的某些結果相乘。

例3

計算$20!$中素因數$2$的指數

很容易由剛才給出的定理1知道$h_2=[\frac{20}{2}]+[\frac{20}{4}]+[\frac{20}{8}]+[\frac{20}{16}]=10+5+2+1=18$

例4

計算$10!$和$30!$的標準分解式

用推論1試試，先給出30以內的質數

$2,3,5,7,11,13,17,19,23,29$

先來看$10!$的情況

$h_2=[\frac{10}{2}]+[\frac{10}{4}]+[\frac{10}{8}]=5+2+1=8$

$h_3=3+1=4$

$h_5=2$

$h_7=1$

所以$10!=2^8\times 3^4\times 5^2\times 7^1$

同理可知道

$30!=2^{26}\times 3^{14}\times 5^7\times 7^4\times 11^2\times 13^2\times 17^1\times 19^1\times 23^1\times 29^1$

推論2

賈憲數$\frac{n!}{k!(n?k)!}(0<k<n)$是整數

這個其實是組合數的公式。。

也就是$C_n^k=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$

這里不用討論$k=0，n$因為$k=0,n$帶入結果為$1$

當然等號是可以加上的

意義是從$n$個東西中選出$k$個東西的方案數

我們可以使用這一節的定理1來證明這是個整數。

推論3

這個推論是跟多項式有關的，都是類似的

若$f(x)$是一個$n$次整系數多項式，$f^{(k)}(x)(k\le n)$是它的$k$階導數，則$\frac{f^{(k)}(x)}{k!}$是一個$(n?k)$次整系數多項式。

命題2

任何$k$個連續整數的乘積一定可以被$k!$整除

還記得我們之前得到的結論嗎，說的是任何連續$k$個整數中一定存在一個$k$的倍數。

很容易的我們可以根據這條結論來證這個。