Beta分布是一種定義在區間 ([0, 1]) 上的連續概率分布，常用于描述比例或概率的不確定性。它的形狀由兩個正參數 (\alpha)（alpha）和 (\beta)（beta）控制，能夠呈現多種形態（如對稱、偏態、U型等）。

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1. 概率密度函數（PDF）

Beta分布的概率密度函數為：
$$f(x;\alpha ,\beta )=\frac{x^{\alpha ?1}(1?x{)}^{\beta ?1}}{B(\alpha ,\beta )},x\in [0,1]$$
其中：

• (B(\alpha, \beta)) 是Beta函數，用于歸一化：
  $$B(\alpha ,\beta )={\int }_0^1{t}^{\alpha ?1}(1?t{)}^{\beta ?1}dt=\frac{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )}$$
• (\Gamma(\cdot)) 是伽馬函數（Gamma function），滿足 (\Gamma(n) = (n-1)!) 對正整數 (n)。

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2. 分布的形狀

Beta分布的形狀由 (\alpha) 和 (\beta) 決定：

• 對稱分布：當 (\alpha = \beta) 時，分布對稱（如 (\alpha=\beta=1) 時為均勻分布；(\alpha=\beta=2) 時為鐘形）。
• 偏態分布：
  • (\alpha > \beta)：左偏（峰值靠近1）。
  • (\alpha < \beta)：右偏（峰值靠近0）。
• 極端形態：
  • (\alpha, \beta < 1)：U型（集中在0和1附近）。
  • (\alpha = 1, \beta > 1)：遞減。
  • (\beta = 1, \alpha > 1)：遞增。

典型例子：

參數 ((\alpha, \beta))	形狀描述	示例場景
((1, 1))	均勻分布（Flat）	無先驗信息時假設。
((2, 2))	對稱鐘形（峰值在0.5）	硬幣公平性的溫和先驗。
((5, 1))	極端右偏（峰值靠近1）	成功概率很高的場景。
((0.5, 0.5))	U型（雙峰在0和1）	兩極分化強烈的比例（如點擊率）。

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3. 可視化示例

下圖展示了不同參數組合下的Beta分布形狀：

• 紅色曲線：((0.5, 0.5)) → U型。
• 藍色曲線：((5, 1)) → 左偏。
• 綠色曲線：((2, 5)) → 右偏。
• 黑色曲線：((1, 1)) → 均勻分布。

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4. 統計性質

• 期望（均值）：
  $$E[X]=\frac{\alpha }{\alpha +\beta }$$
• 方差：
  $$\text{Var}(X)=\frac{\alpha \beta }{(\alpha +\beta {)}^2(\alpha +\beta +1)}$$
• 眾數（峰值點）（當 (\alpha, \beta > 1)）：
  $$\text{Mode}=\frac{\alpha ?1}{\alpha +\beta ?2}$$

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5. 應用場景

Beta分布常用于：

1. 貝葉斯統計：作為二項分布參數的共軛先驗（如點擊率、轉化率）。
2. A/B測試：建模兩個版本的勝率。
3. 概率建模：描述任何有界區間（如用戶評分、完成率）。

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6. 與其他分布的關系

• 二項分布：Beta分布是二項分布參數 (p) 的共軛先驗。
• 均勻分布：當 (\alpha = \beta = 1) 時，Beta分布退化為均勻分布。

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總結

Beta分布是一個靈活的概率分布，通過調整 (\alpha) 和 (\beta) 可以模擬從均勻分布到極端偏態的各種形態，特別適合建模比例或概率的不確定性。其數學性質良好，是貝葉斯分析中的核心工具之一。