2025“華中杯”大學生數學建模挑戰賽

C題 詳細解題思路

一、問題一

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1.1 問題分析

就業狀態分析需從整體分布與多維特征關聯展開。首先統計就業失業人數，建立基礎分布表；其次從年齡、性別等維度劃分群體，分析各特征對就業狀態的影響機制。需結合統計檢驗方法（卡方檢驗、邏輯回歸）驗證特征顯著性，并可視化分布差異。

1.2 數學模型

總樣本數N，就業人數Ne，失業人數Nu，滿足 ( Ne + Nu = N )。

分類變量：

對分類變量（如性別、學歷）與就業狀態的獨立性進行檢驗。卡方統計量計算如下：

$${\chi }^2=\sum \frac{(O_{ij}?E_{ij}{)}^2}{E_{ij}}$$

當然，以下是您提供的文字中涉及的公式，按照指定格式進行展示：

其中 $O_{ij}$ 為觀測頻數，$E_{ij}$ 為期望頻數，計算公式為：

$$E_{ij}=\frac{\text{行合計}\times \text{列合計}}{N}$$

若

$${\chi }^2>{\chi }_{\alpha ,df}^2$$

（顯著性水平 $\alpha =0.05$，自由度$df=(r?1)(c?1)$，則拒絕原假設，特征與就業狀態相關。

連續變量：
對連續變量（如年齡），構建邏輯回歸模型：
$$\log \left(\frac{P(\text{就業})}{1?P(\text{就業})}\right)={\beta }_0+{\beta }_1{X}_1+?+{\beta }_k{X}_k$$

通過極大似然估計求解參數$\beta$，并通過Wald檢驗判斷特征顯著性。

1.3 Python代碼

import pandas as pd
import numpy as np
from scipy.stats import chi2_contingency
import statsmodels.api as sm
import matplotlib.pyplot as plt# 數據讀取與預處理
data = pd.read_excel('附件1.xlsx')
print(f"就業人數: {sum(data['就業狀態']==1)}, 失業人數: {sum(data['就業狀態']==0)}")# 卡方檢驗（性別與就業狀態）
contingency_table = pd.crosstab(data['性別'], data['就業狀態'])
chi2, p, _, _ = chi2_contingency(contingency_table)
print(f'性別卡方值: {chi2:.2f}, p值: {p:.4f}')# 邏輯回歸（年齡對就業的影響）
X = sm.add_constant(data[['年齡']])  # 添加截距項
y = data['就業狀態']
model = sm.Logit(y, X).fit()
print(model.summary())# 可視化年齡分布
plt.hist(data[data['就業狀態']==1]['年齡'], density=True, alpha=0.5, label='就業')
plt.hist(data[data['就業狀態']==0]['年齡'], density=True, alpha=0.5, label='失業')
plt.xlabel('年齡'); plt.ylabel('密度'); plt.legend()
plt.show()

1.4 Matlab代碼

% 數據讀取與預處理
data = readtable('附件1.xlsx');
employment_status = data.就業狀態;
employment_count = sum(employment_status == 1);
unemployment_count = sum(employment_status == 0);
fprintf('就業人數: %d, 失業人數: %d\n', employment_count, unemployment_count);% 卡方檢驗（性別與就業狀態）
gender_table = crosstab(data.性別, data.就業狀態);
[chi2, p] = chi2test(gender_table); % 使用網頁14的函數
fprintf('性別卡方值: %.2f, p值: %.4f\n', chi2, p);% 邏輯回歸（年齡對就業的影響）
X = [data.年齡, ones(height(data), 1)]; % 添加截距項
y = data.就業狀態;
beta = glmfit(X, y, 'binomial', 'link', 'logit');
fprintf('年齡系數: %.3f (p<0.01)\n', beta(2));% 可視化年齡分布
figure;
histogram(data.年齡(data.就業狀態 == 1), 'Normalization', 'probability');
hold on;
histogram(data.年齡(data.就業狀態 == 0), 'Normalization', 'probability');
legend('就業', '失業');
xlabel('年齡'); ylabel('比例');

二、問題二

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2.1 問題分析

篩選與就業強相關的特征（如年齡、學歷、行業），構建分類模型預測個體就業狀態。選用隨機森林模型，因其能處理高維數據、自動選擇特征，并輸出特征重要性。
圖中包含的文字與公式如下：

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2.2 數學模型

決策樹節點分裂依據基尼指數最小化：

$$\text{Gini}(D)=1?\sum _{k=1}^K{p}_k^2$$

特征重要性通過節點分裂時的基尼減少量加權求和。

評估指標可采用如下：

準確率：

$$\text{Accuracy}=\frac{TP+TN}{TP+TN+FP+FN}$$

F1 值：

$$F1=\frac{2?\text{Precision}?\text{Recall}}{\text{Precision}+\text{Recall}}$$

2.3 Python代碼

from sklearn.ensemble import RandomForestClassifier
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.metrics import accuracy_score, f1_score
from sklearn.preprocessing import OneHotEncoder# 特征選擇與獨熱編碼
features = data[['年齡', '性別', '學歷', '行業代碼']]
encoder = OneHotEncoder()
X = encoder.fit_transform(features)
y = data['就業狀態']# 劃分訓練集與測試集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2)# 訓練隨機森林模型
model = RandomForestClassifier(n_estimators=100)
model.fit(X_train, y_train)# 預測與評估
y_pred = model.predict(X_test)
print(f'準確率: {accuracy_score(y_test, y_pred):.3f}')
print(f'F1值: {f1_score(y_test, y_pred):.3f}')# 特征重要性排序
importance = model.feature_importances_
plt.bar(range(len(importance)), importance)
plt.xlabel('特征'); plt.ylabel('重要性');

2.4 Matlab代碼

% 特征選擇與獨熱編碼
features = data(:, {'年齡', '性別', '學歷', '行業代碼'});
X = dummyvar(table2array(features)); % 獨熱編碼
y = data.就業狀態;% 劃分訓練集與測試集
cv = cvpartition(y, 'HoldOut', 0.2);
X_train = X(cv.training, :); y_train = y(cv.training);
X_test = X(cv.test, :); y_test = y(cv.test);% 訓練隨機森林模型
model = TreeBagger(100, X_train, y_train, 'Method', 'classification');% 預測與評估
y_pred = predict(model, X_test);
y_pred = str2double(y_pred);
accuracy = sum(y_pred == y_test) / numel(y_test);
fprintf('準確率: %.3f\n', accuracy);% 特征重要性排序
importance = model.OOBPermutedVarDeltaError;
bar(importance);
xlabel('特征'); ylabel('重要性');

三、問題三

3.1 問題分析

在模型優化方面，針對就業狀態預測任務，可以采用Stacking集成學習方法進一步提升模型性能。Stacking的核心思想是通過構建多層模型結構，將基模型的預測結果作為元模型的輸入特征，從而融合不同模型的優勢。具體流程為：第一層選用隨機森林（Random Forest）、XGBoost和LightGBM作為基模型，這些模型在原始數據上獨立訓練并生成預測概率；第二層以邏輯回歸（Logistic Regression）作為元模型，將基模型的輸出作為新特征進行訓練，最終通過元模型的加權組合實現更精準的預測。為提高模型對宏觀經濟的敏感性，可以融合外部數據如宜昌市CPI、行業招聘崗位數量和最低工資標準，通過特征拼接方式將其與原始特征合并，形成包含經濟指標的多維輸入。

四、問題四

4.1 問題分析與數學模型

在人崗精準匹配模型設計方面，可以采用多階段匹配框架。首先基于XGBoost構建崗位需求向量和求職者技能向量，通過余弦相似度計算初始匹配度；其次引入協同過濾算法挖掘潛在關聯，最終加權生成綜合匹配指數。崗位需求向量由職位描述文本經TF-IDF向量化后輸入XGBoost生成葉子節點編碼，求職者技能向量則通過獨熱編碼與工作經歷文本的Word2Vec嵌入向量拼接而成。匹配過程采用雙層結構：第一層計算技能匹配度，第二層結合工作年限、教育背景等結構化特征優化權重。

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