第8集：降維技術——主成分分析（PCA）

在機器學習中，降維（Dimensionality Reduction） 是一種重要的數據處理技術，用于減少特征維度、去除噪聲并提高模型效率。主成分分析（Principal Component Analysis, PCA） 是最經典的線性降維方法之一，廣泛應用于數據可視化、特征提取和圖像壓縮等領域。今天我們將深入探討 PCA 的數學原理，并通過實踐部分使用 MNIST 手寫數字數據集 進行降維與可視化。

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維度災難問題

什么是維度災難？

隨著特征維度的增加，數據的稀疏性會急劇上升，導致模型訓練變得更加困難。這種現象被稱為 維度災難（Curse of Dimensionality）。高維數據不僅增加了計算復雜度，還可能導致過擬合。因此，降維技術成為解決這一問題的重要工具。

圖1：維度災難示意圖
（圖片描述：三維空間中展示了低維數據點的分布較為密集，而高維空間中數據點變得稀疏，難以捕捉模式。）

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PCA 的數學原理

PCA 的核心思想

PCA 的目標是通過線性變換將原始高維數據投影到一個低維子空間，同時盡可能保留數據的主要信息。具體步驟如下：

1. 標準化數據：對每個特征進行零均值化和單位方差縮放。
2. 計算協方差矩陣：衡量特征之間的相關性。
3. 特征分解：求解協方差矩陣的特征值和特征向量。
4. 選擇主成分：按特征值大小排序，選擇前 $ k $ 個特征向量作為主成分。
5. 投影數據：將原始數據投影到主成分構成的低維空間。

公式如下：
$$\text{Covariance?Matrix:?}\Sigma =\frac{1}{n}{X}^{T}X$$
$$\text{Eigen?Decomposition:?}\Sigma v=\lambda v$$
其中：

• $ \Sigma $ 是協方差矩陣。
• $ \lambda $ 是特征值，表示主成分的重要性。
• $ v $ 是特征向量，表示主成分的方向。

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如何解釋主成分

主成分是數據變化方向的線性組合，每個主成分解釋了數據總方差的一部分。我們可以通過以下指標評估主成分的重要性：

1. 特征值占比：每個主成分對應的特征值占總特征值的比例。
2. 累計貢獻率：前 k 個主成分解釋的總方差比例。

圖2：主成分累計貢獻率圖
（圖片描述：折線圖展示了前 $ k $ 個主成分的累計貢獻率，隨著主成分數量增加，累計貢獻率逐漸接近 100%。）

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PCA 在圖像壓縮中的應用

PCA 可以用于圖像壓縮，通過保留最重要的主成分來減少存儲空間。例如，對于一張灰度圖像，可以將其像素矩陣展平為一維向量，然后使用 PCA 提取主要特征，從而實現壓縮。

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實踐部分：使用 PCA 對 MNIST 手寫數字數據集進行降維并可視化

數據集簡介

MNIST 數據集包含 70,000 張 28x28 像素的手寫數字圖像（0-9）。每張圖像被展平為 784 維向量。我們將使用 PCA 將數據降維到二維空間，并對其進行可視化。

完整代碼

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.datasets import fetch_openml
from sklearn.decomposition import PCA
from sklearn.preprocessing import StandardScaler# 加載 MNIST 數據集
mnist = fetch_openml('mnist_784', version=1)
X, y = mnist['data'], mnist['target']# 數據標準化
scaler = StandardScaler()
X_scaled = scaler.fit_transform(X)# 使用 PCA 降維到二維
pca = PCA(n_components=2, random_state=42)
X_pca = pca.fit_transform(X_scaled)# 可視化降維結果
plt.figure(figsize=(12, 8))
for i in range(10):  # 遍歷 0-9 數字類別plt.scatter(X_pca[y.astype(int) == i, 0], X_pca[y.astype(int) == i, 1], label=f'Digit {i}', alpha=0.6)
plt.title('MNIST Data Visualization using PCA', fontsize=16)
plt.xlabel('Principal Component 1', fontsize=12)
plt.ylabel('Principal Component 2', fontsize=12)
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()# 輸出主成分的累計貢獻率
explained_variance_ratio = pca.explained_variance_ratio_
print(f"主成分1解釋的方差比例: {explained_variance_ratio[0]:.2f}")
print(f"主成分2解釋的方差比例: {explained_variance_ratio[1]:.2f}")
print(f"累計貢獻率: {sum(explained_variance_ratio):.2f}")

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運行結果

降維結果可視化

圖3：PCA 降維后的 MNIST 數據分布
（圖片描述：二維散點圖展示了不同數字類別的分布情況，每個類別用不同顏色表示，清晰地展示了數字之間的聚類效果。）

輸出結果

主成分1解釋的方差比例: 0.06
主成分2解釋的方差比例: 0.04
累計貢獻率: 0.10

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總結

本文介紹了 PCA 的數學原理及其在降維和圖像壓縮中的應用，并通過實踐部分展示了如何使用 PCA 對 MNIST 數據集進行降維和可視化。希望這篇文章能幫助你更好地理解 PCA！

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參考資料

• Scikit-learn 文檔: https://scikit-learn.org/stable/documentation.html
• MNIST 數據集: https://www.openml.org/d/554*