目錄
什么是灰色系統？? ? ??
一、灰色關聯分析
1.1 灰色關聯分析模型
1.2 灰色關聯因素和關聯算子集
1.2.1 灰色關聯因素
1.2.2 關聯算子集
1.3 灰色關聯公理與灰色關聯度
1.3.1 灰色關聯度
1.3.2?灰色關聯度計算步驟
1.4 廣義關聯度
1.4.1 灰色絕對關聯度
1.4.2 灰色相對關聯度
1.4.3 灰色綜合關聯度
二、優勢分析
2.1 灰色關聯矩陣
2.2 幾類灰色關聯矩陣
2.3 系統優勢關系
2.4 因素優勢關系
2.5 系統準優勢關系
2.6 準優特征與準優因素
三、生成數
3.1 累加生成數列
四、灰色模型（GM模型）
4.1 GM(1, 1)模型及定義
4.2 GM(1, 1)白化型
五、灰色預測
5.1 灰色預測的步驟
5.1.1 數據的檢驗與處理
5.1.2 建立模型
5.1.3 模型檢驗
5.2 數列預測
什么是灰色系統？? ? ??
????????客觀世界的很多實際問題，其內部的結構、參數以及特征并未全部被人們了解，人們不可能象研究白箱問題那樣將其內部機理研究清楚，只能依據某種思維邏輯與推斷來構造模型。對這類部分信息已知而部分信息未知的系統，我們稱之為灰色系統。
一、灰色關聯分析
1.1 灰色關聯分析模型
????????根據序列曲線幾何形狀的相似程度來判斷其聯系是否緊密。曲線越接近，相應序列之間關聯度就越大，反之就越小。
????????灰色關聯分析方法彌補了采用數理統計方法作系統分析所導致的缺憾。它對樣本量的多少和樣本有無規律都同樣適用，而且計算量小，十分方便，更不會出現量化結果與定性分析結果不符的情況。
1.2 灰色關聯因素和關聯算子集
1.2.1 灰色關聯因素
（1）行為序列
（2）行為時間序列
?
（3）行為指標序列
（4）行為橫向序列
?
1.2.2 關聯算子集
（1）初值化算子
（2）均值化算子
（3）區間值化算子
（4）逆化算子
（5）倒數化算子
（6）關聯因子空間
1.3 灰色關聯公理與灰色關聯度
1.3.1 灰色關聯度
1.3.2?灰色關聯度計算步驟
e.g.
clc, clear
a=[0.83 0.90 0.99 0.92 0.87 0.95
326 295 340 287 310 303
21 38 25 19 27 10
3.2 2.4 2.2 2.0 0.9 1.7
0.20 0.25 0.12 0.33 0.20 0.09
0.15 0.20 0.14 0.09 0.15 0.17
250 180 300 200 150 175
0.23 0.15 0.27 0.30 0.18 0.26
0.87 0.95 0.99 0.89 0.82 0.94];
for i=[1 5:9] %效益型指標標準化a(i,:)=(a(i,:)-min(a(i,:)))/(max(a(i,:))-min(a(i,:)));
end
for i=2:4 %成本型指標標準化a(i,:)=(max(a(i,:))-a(i,:))/(max(a(i,:))-min(a(i,:)));
end
[m,n]=size(a);
cankao=max(a')' %求參考序列的取值
t=repmat(cankao,[1,n])-a; %求參考序列與每一個序列的差
mmin=min(min(t)); %計算最小差
mmax=max(max(t)); %計算最大差
rho=0.5; %分辨系數
xishu=(mmin+rho*mmax)./(t+rho*mmax) %計算灰色關聯系數
guanliandu=mean(xishu) %取等權重，計算關聯度
[gsort,ind]=sort(guanliandu,'descend') %對關聯度按照從大到小排序
1.4 廣義關聯度
????????三種關聯度矩陣往往得出因素排序結果不完全相同，主要是因為絕對關聯矩陣計算出的絕對關聯序是從絕對量的角度考慮，相對關聯矩陣得出的相對關聯序是相對于原始點變化速率的角度考慮，而綜合關聯序是綜合絕對量和相對變化速率的角度考慮，實際應用中，只要考慮絕對關聯序即可。
1.4.1 灰色絕對關聯度
（1）預備知識
（2）始點零化算子
（3）序列長度
（4）灰色絕對關聯度
e.g.
（5）等時距序列
（6）1時距化
（7）灰色絕對關聯度性質
1.4.2 灰色相對關聯度
（1）定義和計算
?（2）性質
1.4.3 灰色綜合關聯度
（1）概述
?（2）性質
二、優勢分析
2.1 灰色關聯矩陣
2.2 幾類灰色關聯矩陣
2.3 系統優勢關系
2.4 因素優勢關系
2.5 系統準優勢關系
2.6 準優特征與準優因素
?
| 關聯度名稱 | 準優特征 | 準優因素 |
| 絕對關聯度 | ||
| 相對關聯度 | ||
| 綜合關聯度 |
三、生成數
????????灰色系統理論把一切隨機量都看作灰色數—即在指定范圍內變化的所有白色數的全體。對灰色數的處理不是找概率分布或求統計規律，而是利用數據處理的辦法去尋找數據間的規律。通過對數列中的數據進行處理，產生新的數列，以此來挖掘和尋找數的規律性的方法，叫做數的生成。數的生成方式有多種：累加生成、累減生成以及加權累加等等。這里主要介紹累加生成。
3.1 累加生成數列
???????把數列? x?各時刻數據依次累加的過程叫做累加過程，記作AGO，累加所得的新數列，叫做累加生成數列。
特點：
????????一般經濟數列都是非負數列。累加生成能使任意非負數列、擺動的與非擺動的，轉化為非減的、遞增的。
四、灰色模型（GM模型）
????????灰色系統理論是基于關聯空間、光滑離散函數等概念定義灰導數與灰微分方程，進而用離散數據列建立微分方程形式的動態模型，由于這是本征灰色系統的基本模型，而且模型是近似的、非唯一的，故這種模型為灰色模型，記為GM（Grey Model），即灰色模型是利用離散隨機數經過生成變為隨機性被顯著削弱而且較有規律的生成數，建立起的微分方程形式的模型，這樣便于對其變化過程進行研究和描述。
4.1 GM(1, 1)模型及定義
4.2 GM(1, 1)白化型
??? 值得注意的是：GM(1,1)的白化型（4）并不是由 GM(1,1)的灰微分方程直接推導出來的，它僅僅是一種“借用”或“白化默認”。
??? 另一方面，GM(1,1)的白化型是一個真正的微分方程，如果白化型模型精度高，則表明所用數列建立的模型 GM(1,1)與真正的微分方程模型吻合較好，反之亦然。
五、灰色預測
???????灰色預測是指利用 GM 模型對系統行為特征的發展變化規律進行估計預測，同時也可以對行為特征的異常情況發生的時刻進行估計計算，以及對在特定時區內發生事件的未來時間分布情況做出研究等等。
???????這些工作實質上是將“隨機過程”當作“灰色過程”， “隨機變量”當作“灰變量”，并主要以灰色系統理論中的 GM(1,1)模型來進行處理。灰色預測在工業、農業、商業等經濟領域，以及環境、社會和軍事等領域中都有廣泛的應用。特別是依據目前已有的數據對未來的發展趨勢做出預測分析。
5.1 灰色預測的步驟
5.1.1 數據的檢驗與處理
首先，為了保證建模方法的可行性，需要對已知數據列做必要的檢驗處理。設參考數據為?
?????????????????????? ，計算數列的級比
?????????如果所有的? 級比??
?都落在可容覆蓋
內，則數列 x(0) 可以作為模型 GM(1,1)的數據進行灰色預測。否則，需要對數列 x(0) 做必要的變換處理，使其落入可容覆蓋內。
即取適當的常數c，作平移變換
?????????????????????????????????? ?y^(0)??(k) = x^(0)? ?(k) + c，k =1,2,…,n
5.1.2 建立模型
按灰色預測方法建立模型 GM(1,1)，則可以得到預測值
5.1.3 模型檢驗
（1）殘差檢驗準則
設：
????????????????
?????????????????
?
（2）關聯度檢驗準則
設：
?
（3）均方差比與小誤差檢驗準則
（4）精度等級參照表
5.2 數列預測
（1）定性分析
（2）引入適當的序列算子
（3）建立預測模型
（4）精度檢驗
（5）預測
（6）灰色決策模型
待續
