1.前言

昨天有粉絲讓我講解下定點數和浮點數，本來這部分是打算在FPGA入門系列的最后面來講的。作者想開的系列真的很多，比如開發FPGA需要學會相關軟件Matlab、Vivado、ModelSim等等的使用，每個軟件做一個系列；FPGA入門教程做一個系列；基礎數字信號處理做一個系列；通信相關的系列；IP核使用詳解系列；FPGA數字積木系列（自己設計的一些參數化IP）。但是這些無疑都會花大量的時間去構思和整理資料，會出的比較慢，請讀者耐心等待。

這篇文章就先介紹定點數和浮點數的概念，因為要真正講清楚還得從原碼、補碼和反碼開始講起。要仔細研究的建議去多看看相關書籍，講清楚原理之后再講Matlab里面計算的浮點數怎么轉換為定點數到FPGA里面進行使用，以及FPGA里面計算的定點數，怎么在Matlab里面又轉換為浮點數。

這里需要重點強調的是，原理雖然很枯燥，但是真的很重要，是絕對不能忽視的，如果原理弄的一知半解，就開始去做處理，后期該踩得坑一個也少不了。

2.研究數字表示法的意義

在計算機算法中，有兩個基本設計準則是非常重要的:分別是數字表示法和代數運算的實現。例如:定點數或浮點數就是常用且可行的數字表示法。一些基本的運算，像加法器和乘法器，更為繁瑣的運算，諸如求平方根和應用CORDIC算法計算角函數的有效實現，都要以可行的數字表示法為基礎實現。
FPGA由于其物理位級編程結構的特點，提供了大量實現數字信號處理算法所需要的計算機算法。這恰好與帶有定點多級累加器內核的可編程數字信號處理器(programmable digital signal processors,PDSP)相反。在FPGA設計中仔細地選擇位寬就能夠從本質上做到節約。

3.數字表示法

在工程的早期階段，必須仔細考慮，確定是使用定點數還是浮點數更適合于解決問題。一般可以認為:定點數的實現具有更高的速度和更低廉的成本；而浮點數則具有更高的動態范圍且不需要換算，這對較為復雜的算法可能更適合。下圖給出了傳統和非傳統定點數和浮點數的數字表示法的一個概觀。兩套系統都由許多各自的標準所覆蓋，當然，如果需要的話也可以以一種專有形式實現。

3.1 無符號整數

設 $X$ 是 一個 $N$ 位無符號二進制數, 則其范圍是 $\left[0,2^N?1\right]$, 表達式如下:
$$X=\sum _{n=0}^{N?1}{x}_n{2}^n$$

其中 $x_n$ 是 $X$ 的第 $n$ 位二進制數字(也就是 $x_n\in [0,1]$ )。數字 $x_0$ 稱作最低有效位(Least Significant Bit, LSB), 具有相當于個位的權重。數字 $x_{N?1}$ 就是最高有效位(Most Significant Bit, MSB), 具有相當于 $2^{N?1}$ 的權重。

3.2 有符號數值

在有符號數字表示法中, 數字和符號是單獨表示的。第一位代表符號, 余下的 $N?1$ 位代表數字, 表達式如下:
$$X=\{\begin{array}{ll}{\sum }_{n=0}^{N?1}{x}_n{2}^n& X\ge 0\\ ?{\sum }_{n=0}^{N?1}{x}_n{2}^n& X<0\end{array}$$

表達式的范圍是 $\left[?2^{N?1},2^{N?1}\right]$, 有符號數字表示法的優點就是簡化了溢出的問題, 但缺點就是加法需要根據哪一個操作數更大來進行區分運算。

3.3 二進制補碼(Two’s Complement, 2C)

有符號整數的 $N$ 位二進制補碼表達式如下:
$$X=\{\begin{array}{ll}{\sum }_{\infty ?0}^{N?1}{x}_n{2}^n& X\ge 0\\ 2^k?{\sum }_{n=0}^{1?1}{x}_n{2}^n& X<0\end{array}$$
其范圍是$\left[?2^{N?1},2^{N?1}?1\right]$。目前數字信號處理領域，最常用的就是用二進制補碼來表示有符號數。這是由于它可以累加多個有符號數，且最終結果也在N位范圍內，即可以忽略一切算術上的溢出。

例如，我們計算兩個3位數的差（3-2=?）：
$$\begin{array}{rrr}{3}_{10}& ?& 011_{2C}\\ ?2_{10}& ?& 110_{2C}\\ 1_{10}& ?& 1.001_{2C}\end{array}$$

溢出可以忽略。所有的計算都是取模 $2^N$ 。這樣就有可能出現不能夠正確表示中間值的情形,但只要最終值有效, 結果就是正確的。例如計算 3 位的數字 $2+2?3$, 會得到一個中間值 $010+010=100_{2C}$, 也就是 $?4_{10}$, 但是結果 $100?011=100+101=001_{2C}$, 是正確的。

二進制補碼還可以用來實現模 $2^N$ 的算法, 而且不需要在算法中作任何改動。

3.4 二進制反碼(也稱作 1 的補碼, One’s Complement, 1C)

$N$ 位二進制反碼數字表示法可以表示的整數范圍是 $\left[?2^{N?1}?1,2^{N?1}?1\right]$ 。在二進制反碼中,正整數和負整數除了符號位之外具有相同的表示方法。那么“0”就有正的和負的，兩個表達式。二進制反碼中有符號數的標準表達式如下:
$$X=\{\begin{array}{ll}{\sum }_{n=0}^{N?1}{x}_n{2}^n& X\ge 0\\ 2^N?1?{\sum }_{n=0}^{N?1}{x}_n{2}^n& X<0\end{array}$$

請看下面的簡單示例:
$$\begin{array}{rrrrrr}{3}_{10}& ?& & 0& 1& 1_{1C}\\ ?2_{10}& ?& & 1& 0& 1_{1C}\\ 1_{10}& ?& 1.& 0& 0& 0_{1C}\\ 進位& & \to & \to & \to & 1_{1C}\\ 1_{10}& ?& & 0& 0& 1_{1C}\end{array}$$
在二進制反碼中需要， “進位問繞(carry wrap-around)” 加法。在最高有效位與最低有效位相加得到正確結果時, 就會出現進位。

盡管如此, 這種數字表示法還走能夠有效地實現模 $2^N?1$ 運算, 而且不需要校正。因此二進制反碼在實現特定的 DSP 算法(例如: 整數計算不 $2^N?1$ 的 Mersenne 變換)時, 還是有其特殊價值的。

3.5 減 1 表示法(Diminished one System, D1)

減1表示法是一種有偏移的數學表示法。正整數與二.進制補碼相比減少了 1。 $N$ 位 D1數值范圍是 $\left[?2^{N?1},2^{N?1}\right]($ 不含 0$)$ 。D1 數字表示法的編碼規則定義如下:
$$X=?\begin{array}{ll}{\sum }_{n=0}^{A?1}{x}_n{2}^n?1& X\ge 0\\ 2^N?{\sum }_{n=0}^{N?1}{x}_n{2}^n& X<0\\ 2^N& X=0\end{array}$$

從下面兩個 D1 數相加可以看到, 對于 D1 而言還必須計算補碼和顛倒進位的加法。
$$\begin{array}{rrrrrr}{3}_{10}& ?& & 0& 1& 0_{D1}\\ ?2_{10}& ?& & 1& 1& 0_{D1}\\ 1_{10}& ?& 1.& 0& 0& 0_{D1}\\ 進位& & \to & \boxed{.?-1}& \to & 0_{D1}\\ 1_{10}& ?& & 0& 0& 0_{D1}\end{array}$$
D1 數不需要在算法上作任何改動就能夠有效地實現模 $2^N+1$ 運算。比如可以利用這一結論在 $2^N+1$ 計算環中實現費爾出 NTT(Fermat Network Transfer Table, Fermat 網絡傳輸表)。

3.6 原碼、反碼、補碼總結

上面說了這么多，又是公式又是例子的估計很多人都開始暈了，現在直接總結口訣如下：

對于有符號數而言：

1.二進制的最高位是符號位：0表示正數，1表示負數（口訣0——>0,1——>-）。

2.正數的原碼、反碼、補碼都是一樣的（三碼合一）。

3.負數的反碼 = 它的原碼符號位不變，其他位取反（0——>1,1——>0）。

4.負數的補碼 = 它的反碼 + 1，負數的反碼 = 負數的補碼 - 1。

5.0的反碼、補碼都是0。

6.在計算機運算的時候，都是以補碼的方式來運算的。

7.當我們看運算結果的時候，要看它的原碼。

關注微信公眾號獲取更多資訊：????![在這里插入圖片描述](https://img-