實驗一　　熟悉MATLAB基本功能

實驗的目的和要求：在本次實驗中，通過親臨使用MATLAB，對該軟件做一全面了解并掌握重點內容。

實驗內容：

１、全面了解MATLAB系統

２、實驗常用工具的具體操作和功能

學習建議：

本次實驗在全面了解軟件系統基礎之上，學習和熟悉一些MATLAB的基礎用途，重點掌握優化工具箱函數選用的內容。

重點和難點：

優化工具箱函數選用。

利用Matlab的優化工具箱，可以求解線性規劃、非線性規劃和多目標規劃問題。具體而言，包括線性、非線性最小化，最大最小化，二次規劃，半無限問題，線性、非線性方程（組）的求解，線性、非線性的最小二乘問題。另外，該工具箱還提供了線性、非線性最小化，方程求解，曲線擬合，二次規劃等問題中大型課題的求解方法，為優化方法在工程中的實際應用提供了更方便快捷的途徑。

優化工具箱中的函數

優化工具箱中的函數包括下面幾類：

1**．最小化函數**

表1 最小化函數表

函 數	描 述
fgoalattain	多目標達到問題
fminbnd	有邊界的標量非線性最小化
fmincon	有約束的非線性最小化
fminimax	最大最小化
fminsearch, fminunc	無約束非線性最小化
fseminf	半無限問題
linprog	線性課題
quadprog	二次課題

2**．方程求解函數**

表2 方程求解函數表

函 數	描 述
/	線性方程求解
fsolve	非線性方程求解
fzero	標量非線性方程求解

3**．最小二乘（曲線擬合）函數**

表3 最小二乘函數表

函 數	描 述
/	線性最小二乘
lsqlin	有約束線性最小二乘
lsqcurvefit	非線性曲線擬合
lsqnonlin	非線性最小二乘
lsqnonneg	非負線性最小二乘

4**．實用函數**

表4 實用函數表

函 數	描 述
optimset	設置參數
optimget

5**．大型方法的演示函數**

表5 大型方法的演示函數表

函 數	描 述
circustent	馬戲團帳篷問題—二次課題
molecule	用無約束非線性最小化進行分子組成求解
optdeblur	用有邊界線性最小二乘法進行圖形處理

6**．中型方法的演示函數**

表6 中型方法的演示函數表

函 數	描 述
bandemo	香蕉函數的最小化
dfildemo	過濾器設計的有限精度
goaldemo	目標達到舉例
optdemo	演示過程菜單
tutdemo	教程演示

下面以我們最常用的線性規劃模型求解函數linprog作為典型對優化工具箱進行簡單的介紹。

linprog函數

功能：求解線性規劃問題。

在命令窗口，鍵入doc linprog,得到下圖（該圖為幫助窗口）

數學模型：

?

?

其中f, x, b, beq, lb和ub為向量，A 和Aeq為矩陣。

語法：

x = linprog(f,A,b,Aeq,beq)x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)[x,fval] = linprog(...)[x,fval,exitflag] = linprog(...)[x,fval,exitflag,output] = linprog(...)[x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(...)

描述：

x = linprog(f,A,b)求解問題 min f’x，約束條件為Ax <= b。

x = linprog(f,A,b,Aeq,beq)求解上面的問題，但增加等式約束，即Aeq*x = beq。若沒有不等式存在，則令A=[]、b=[]。

x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)定義設計變量x的下界lb和上界ub，使得x始終在該范圍內。若沒有等式約束，令Aeq=[]、beq=[]。

x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)設置初值為x0。該選項只適用于中型問題，缺省時大型算法將忽略初值。

x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)用options指定的優化參數進行最小化。

[x,fval] = linprog(…) 返回解x處的目標函數值fval。

[x,lambda,exitflag] = linprog(…)返回exitflag值，描述函數計算的退出條件。

[x,lambda,exitflag,output] = linprog(…) 返回包含優化信息的輸出變量output。

[x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(…) 將解x處的拉格朗日乘子返回到lambda參數中。

變量：

lambda參數

lambda參數是解x處的拉格朗日乘子。它有以下一些屬性：

? lambda.lower –lambda的下界。

? lambda.upper –lambda的上界。

? lambda.ineqlin –lambda的線性不等式。

? lambda.eqlin –lambda的線性等式。

其它參數意義同前。

算法：

大型優化算法 大型優化算法采用的是LIPSOL法，該法在進行迭代計算之前首先要進行一系列的預處理。

中型優化算法 linprog函數使用的是投影法，就象quadprog函數的算法一樣。linprog函數使用的是一種活動集方法，是線性規劃中單純形法的變種。它通過求解另一個線性規劃問題來找到初始可行解。

診斷：

大型優化問題 算法的第一步涉及到一些約束條件的預處理問題。有些問題可能導致linprog函數退出，并顯示不可行的信息。在本例中，exitflag參數將被設為負值以表示優化失敗。

若Aeq參數中某行的所有元素都為零，但Beq參數中對應的元素不為零，則顯示以下退出信息：

Exiting due to infeasibility: an all zero row in the constraint matrix does not have a zero in corresponding right hand size entry.

若x的某一個元素沒在界內，則給出以下退出信息：

Exiting due to infeasibility: objective f’*x is unbounded below.

若Aeq參數的某一行中只有一個非零值，則x中的相關值稱為奇異變量。這里，x中該成分的值可以用Aeq和Beq算得。若算得的值與另一個約束條件相矛盾，則給出以下退出信息：

Exiting due to infeasibility: Singleton variables in equality constraints are not feasible.

若奇異變量可以求解但其解超出上界或下界，則給出以下退出信息：

Exiting due to infeasibility: singleton variables in the equality constraints are not within bounds.

應用實例

這是matlab幫助窗口里給出的一個例子：

Find x that minimizes f(x) = –5x1 – 4x2 –6x3,subject tox1 – x2 + x3 ≤ 203x1 + 2x2 + 4x3 ≤ 423x1 + 2x2 ≤ 300 ≤ x1, 0 ≤ x2, 0 ≤ x3.First, enter the coefficientsf = [-5; -4; -6];A = [1 -1 13 2 43 2 0];b = [20; 42; 30];lb = zeros(3,1);Next, call a linear programming routine.[x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(f,A,b,[],[],lb);Examine the solution and Lagrange multipliers:x,lambda.ineqlin,lambda.lowerx = 0.000015.00003.0000ans =0.00001.50000.5000ans =1.00000.00000.0000

下面在來用linprog解我們最優化考試的題：

Min f(x)=-3x1 + x2 + x3;S.T. x1 – 2*x2 + x3<=11-4*x1 + x2 + 2*x3 – x4=3-2*x1 + x3=1X1,x2,x3,x4>=0 ;在matlab command window中鍵入以下指令：f=[-3;1;1];\>> A=[1 -2 1;4 -1 -2];\>> b=[11;-3];\>> Aeq=[-2 0 1];\>> beq=1;\>> lb=zeros(3,1);\>> [x,fval,exitflag]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb)Optimization terminated.x =4.00001.00009.0000fval =-2.0000exitflag =1