高斯分布，也稱為正態分布（Normal Distribution），是統計學和概率論中最重要的分布之一。它由德國數學家卡爾·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）首先系統研究并命名。以下是關于高斯分布的詳細介紹：

高斯分布的定義

正態分布是連續概率分布，其概率密度函數（Probability Density Function, PDF）由以下公式給出：

$$f(x|\mu ,{\sigma }^2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{e}^{?\frac{(x?\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$$
其中：

• $$x$$ 是變量
• $$\mu$$ 是均值（mean），決定分布的中心位置
• $$\sigma$$ 是標準差（standard deviation），決定分布的寬度
• $${\sigma }^2$$ 是方差（variance），是標準差的平方

高斯分布的性質

1. 對稱性：高斯分布是關于均值 $$\mu$$ 對稱的。
2. 鐘形曲線：其概率密度函數呈現鐘形曲線，兩端逐漸趨近于零，但永遠不會達到零。
3. 68-95-99.7 規則：在高斯分布中，數據在距離均值 $$\mu$$ 一個標準差 $$\sigma$$ 范圍內的概率約為68%；在兩個標準差內的概率約為95%；在三個標準差內的概率約為99.7%。
4. 參數：高斯分布完全由兩個參數決定：均值$$\mu$$ 和標準差 $$\sigma$$。
5. 中心極限定理：中心極限定理指出，當樣本量足夠大時，來自任意分布的獨立同分布隨機變量的平均值將近似服從正態分布。這使得正態分布在統計學中非常重要。

標準正態分布

標準正態分布是高斯分布的一種特殊情況，其中均值 $$\mu$$ 為0，標準差 $$\sigma$$ 為1。其概率密度函數為：

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{?\frac{x^2}{2}}$$

高斯分布的應用

高斯分布在許多領域都有廣泛應用，包括：

• 統計學：用于假設檢驗、置信區間估計等。
• 自然科學：如測量誤差分析。
• 社會科學：如智商分布。
• 金融學：如資產價格變化的建模。

高斯分布的圖形表示

1. 概率密度函數（PDF）：展示單個值出現的概率密度。
2. 累積分布函數（CDF）：展示小于等于某個值的概率。

示例

以下是一個簡單的Python代碼示例，生成和繪制高斯分布：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import norm# 參數
mu = 0  # 均值
sigma = 1  # 標準差# 生成數據
x = np.linspace(-5, 5, 1000)
pdf = norm.pdf(x, mu, sigma)# 繪制概率密度函數
plt.plot(x, pdf, label=f'N({mu}, {sigma}^2)')
plt.title('高斯分布')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('概率密度')
plt.legend()
plt.show()

這段代碼將繪制一個標準正態分布（均值為0，標準差為1）的概率密度函數。

總結

高斯分布是統計學中最常用的概率分布之一，由其對稱性、鐘形曲線形狀及其在中心極限定理中的重要地位決定。無論在理論研究還是實際應用中，高斯分布都扮演著重要的角色。