數學建模-灰色關聯分析(GRA)

1-AI帶你認識GRA

📘 一、灰色關聯分析（GRA）簡介

1. 什么是灰色關聯分析？

2. 核心思想（通俗理解）：

3. 與熵權法的對比（快速類比）：

🧩 二、灰色關聯分析的基本原理

1. 問題背景：

🛠? 三、灰色關聯分析的基本步驟（標準流程）

? 步驟 1：構建原始數據矩陣

? 步驟 2：確定參考序列（理想解/母序列）

? 步驟 3：數據標準化（無量綱化處理）

（1）??均值化法（常用）??：

（2）??初值化法??：

（3）??區間化法（極差標準化）??：

? 步驟 4：計算關聯系數

? 步驟 5：計算關聯度

? 步驟 6：排序與分析

? 四、灰色關聯分析的優點與缺點

? 優點：

? 缺點：

📚 五、灰色關聯分析的典型應用場景

🧠 六、總結一句話：

📘 類比記憶（幫你更好理解）：

📝 在數學建模/論文中的表述建議：

2-理論知識

介紹

定義

應用

3-基于excel表格實現灰色關聯分析

1）寫入數據

2）數據預處理

3）求出兩級最小差和兩級最大差

4）確定灰色關聯系數Gamma

計算公式

5）求每個指標的灰色關聯系數的平均值

1-AI帶你認識GRA

📘 一、灰色關聯分析（GRA）簡介

1. 什么是灰色關聯分析？

??灰色關聯分析（Grey Relational Analysis，簡稱 GRA 或灰色關聯度分析）?? 是一種分析系統中??各因素間關聯程度（相似程度、變化趨勢相似性）的定量方法??，由我國著名學者 ??鄧聚龍教授?? 在 20 世紀 80 年代提出，是灰色系統理論的重要組成部分。

2. 核心思想（通俗理解）：

??灰色關聯分析的核心思想是：通過計算各評價對象（或因素）的指標數據序列與“參考序列”（理想或對比基準）之間的“關聯程度”（即相似程度、變化趨勢的相近程度），來判斷它們之間的關聯性強弱，從而進行排序、評價或因素分析。??

你可以把它理解為：

??“誰的變化趨勢跟參考對象最像，誰就跟參考對象的關系最緊密，關聯度就越高。”??

3. 與熵權法的對比（快速類比）：

項目

??熵權法??

??灰色關聯分析（GRA）??

??目的??

確定各指標的??客觀權重??

分析各對象或因素與參考序列的??關聯程度（相似性）??

??輸入??

原始數據矩陣（指標值）

原始數據矩陣（指標值），通常也需要參考序列

??輸出??

各指標的??權重值??

各對象與參考對象的??關聯度，用于排序或分析??

??是否排序??

一般不直接排序，常與 TOPSIS 等方法結合使用

??可直接排序，也可用于因素分析??

??主要用途??

多指標綜合評價中確定指標重要性

評價對象優劣排序、因素重要性分析、系統趨勢分析

??特點??

基于信息熵，反映指標的區分度

基于序列間的幾何相似性，反映變化趨勢的相似程度

🧩 二、灰色關聯分析的基本原理

1. 問題背景：

在實際問題中，我們常常需要分析：

?
多個??評價對象（如不同城市、企業、方案）??在多個??指標上??的表現；

?
或者多個??因素（如經濟指標、環境變量）??之間的相互關系與影響程度；

?
但我們往往??缺乏足夠的信息（數據少、信息不完全）??，屬于“??貧信息、小樣本??”問題 → 這正是灰色系統理論擅長處理的領域！

👉 ??灰色關聯分析正是用來解決這類“信息不完全但有一定規律”的問題，通過分析數據序列的相似性（關聯度）來進行評價或分析。??

🛠? 三、灰色關聯分析的基本步驟（標準流程）

假設我們有：

?
m 個??評價對象（如方案、城市、企業）??

?
n 個??評價指標??

?
每個對象在每個指標上都有一個觀測值

我們要分析這些對象與某個??參考對象（理想方案/參考序列）??的關聯程度，或者直接對這些對象進行優劣排序。

? 步驟 1：構建原始數據矩陣

設有 m 個對象，n 個指標，構建原始數據矩陣：
X=?x11?x21??xm1??x12?x22??xm2???????x1n?x2n??xmn???
其中，xij?表示第 i 個對象在第 j 個指標上的值。

? 步驟 2：確定參考序列（理想解/母序列）

參考序列可以是：

?
??人為指定的最優值（如各指標的最大值/最小值，視指標性質而定）??

?
??實際數據中表現最好的那個對象（即某一行數據）??

?
或者根據問題背景自定義的參考標準

一般記作：
X0?=(x0?(1),x0?(2),...,x0?(n))
如果是??對象間的優劣排序問題??，通常將每個指標的最優值組合成參考序列（類似 TOPSIS 的正理想解）；也可以直接把某個對象作為參考對象。

? 步驟 3：數據標準化（無量綱化處理）

由于不同指標的量綱（單位）和數量級不同，通常需要對原始數據進行標準化處理，常用方法有：

（1）??均值化法（常用）??：
xi′?(k)=x(k)xi?(k)?,x(k)=m1?i=1∑m?xi?(k)
（2）??初值化法??：
xi′?(k)=xi?(1)xi?(k)?
（3）??區間化法（極差標準化）??：
xi′?(k)=max(x(k))?min(x(k))xi?(k)?min(x(k))?
推薦使用 ??均值化法?? 或 ??初值化法??，在灰色關聯分析中較為常見。

標準化后得到新的矩陣?X′。

? 步驟 4：計算關聯系數

對于每個評價對象 i 與參考序列在每個指標 k 上的數值，計算它們之間的??關聯系數??：
ξi?(k)=∣x0?(k)?xi′?(k)∣+ρ?imax?kmax?∣x0?(k)?xi′?(k)∣imin?kmin?∣x0?(k)?xi′?(k)∣+ρ?imax?kmax?∣x0?(k)?xi′?(k)∣?
其中：

?
∣x0?(k)?xi′?(k)∣：參考序列與第 i 個對象在第 k 個指標上的??絕對差??

?
imin?kmin?和?imax?kmax?：兩級最小差與最大差（用于規范化和調節）

?
ρ：??分辨系數??，一般取 ??0.5??（用于削弱最大差過大帶來的影響）

關聯系數?ξi?(k)反映的是第 i 個對象在第 k 個指標上與參考對象的??相似程度（關聯程度）??，取值范圍為 [0,1]，越接近 1 表示關聯越強。

? 步驟 5：計算關聯度

對每個對象 i，在所有指標上的關聯系數求??平均值（或加權平均）??，得到該對象與參考序列的??關聯度??：
ri?=n1?k=1∑n?ξi?(k)
如果各指標的重要程度不同，也可以引入權重?wk?，采用加權平均：
ri?=k=1∑n?wk??ξi?(k),k=1∑n?wk?=1
? 步驟 6：排序與分析

?
根據關聯度?ri???從大到小排序??

?
??關聯度越大，表示該對象與參考對象越相似，綜合表現越好（或關系越緊密）??

?
可用于：

?
??多對象優劣排序??

?
??因素重要性分析??

?
??系統動態變化趨勢分析??

? 四、灰色關聯分析的優點與缺點

? 優點：

1.
??對數據要求低??：不需要大量數據，適合小樣本、貧信息問題（灰色系統特色）

2.
??計算簡單、易于理解和實現??

3.
??不需要指標數據服從特定分布??

4.
??能反映數據間的變化趨勢與相似性，而不僅是數值大小??

5.
??廣泛應用于因素分析、方案排序、政策評價等實際問題??

? 缺點：

1.
??分辨系數 ρ 的選取具有一定主觀性??

2.
??對參考序列的選取比較敏感，影響最終結果??

3.
??只反映關聯程度，不直接給出“優劣”的絕對評價，更多是“相似性”??

4.
??一般需結合其他方法（如熵權法、TOPSIS）進行綜合評價??

📚 五、灰色關聯分析的典型應用場景

?
??多方案/多對象優劣排序??（如企業績效、城市發展水平、投資方案等）

?
??因素重要性分析??（如分析哪些因素對目標影響最大）

?
??系統趨勢分析??（如分析某指標與參考目標的變化趨勢是否相近）

?
??與 TOPSIS、熵權法等結合使用，構建更強大的綜合評價模型??

🧠 六、總結一句話：

??灰色關聯分析是一種通過計算數據序列之間幾何形狀的相似程度（關聯度），來判斷各評價對象與參考對象之間關聯性強弱的方法，適用于小樣本、多指標、貧信息的綜合評價與因素分析問題。??

📘 類比記憶（幫你更好理解）：

可以把灰色關聯分析類比為：

“在眾多曲線（各對象的數據序列）中，找出哪一條跟參考曲線（理想/基準序列）的‘走勢’最像，最像的就說明關聯度最高，評價越好。”

📝 在數學建模/論文中的表述建議：

“本文采用灰色關聯分析方法，通過構建標準化數據序列與參考序列，計算各評價對象與參考對象的灰色關聯系數及關聯度，根據關聯度大小對評價對象進行優劣排序或因素重要性分析，從而為決策提供依據。”

項目	??熵權法??	??灰色關聯分析（GRA）??
??目的??	確定各指標的??客觀權重??	分析各對象或因素與參考序列的??關聯程度（相似性）??
??輸入??	原始數據矩陣（指標值）	原始數據矩陣（指標值），通常也需要參考序列
??輸出??	各指標的??權重值??	各對象與參考對象的??關聯度，用于排序或分析??
??是否排序??	一般不直接排序，常與 TOPSIS 等方法結合使用	??可直接排序，也可用于因素分析??
??主要用途??	多指標綜合評價中確定指標重要性	評價對象優劣排序、因素重要性分析、系統趨勢分析
??特點??	基于信息熵，反映指標的區分度	基于序列間的幾何相似性，反映變化趨勢的相似程度