【高等數學】第十一章曲線積分與曲面積分—

上一節：【高等數學】第十一章曲線積分與曲面積分——第五節對坐標的曲面積分
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1. 高斯公式
2. 沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件
3. 通量與散度

1. 高斯公式

設空間區域 $Ω$ 是由分片光滑的閉曲面 $Σ$ 所圍成，若函數 $P (x, y, z), Q (x, y, z)$ 與 $R (x, y, z)$ 在 $Ω$ 上具有一階連續偏導數，則有高斯公式 $?Ω(?P?x+?Q?y+?R?z)dv=?ΣPdydz+Qdzdx+Rdxdy,\iiint\limits_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\mathrm{d}v=\oiint\limits_{\Sigma}P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y,$ 或 $?Ω(?P?x+?Q?y+?R?z)dv=?Σ(Pcos?α+Qcos?β+Rcos?γ)dS,\iiint\limits_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\mathrm{d}v=\oiint\limits_{\Sigma}\left(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma\right)\mathrm{d}S,$ 這里 $Σ$ 是 $Ω$ 的整個邊界曲面的外側， $cos?α,cos?β\cosα, \cosβ$ 與 $cos?γ\cosγ$ 是 $Σ$ 在點 $(x, y, z)$ 處的法向量的方向余弦。

設閉區域 $Ω$ 在 $x O y$ 面上的投影區域為 $D_{xy}$ ，假定穿過 $Ω$ 內部且平行于 $z$ 軸的直線與 $Ω$ 的邊界曲面 $Σ$ 的交點恰好是兩個。
設 $Σ\Sigma$ 由 $Σ1\Sigma_1$ 、 $Σ2\Sigma_2$ 和 $Σ3\Sigma_3$ 三部分組成，其中 $Σ1\Sigma_1$ 和 $Σ2\Sigma_2$ 分別由方程 $z= z_1(x, y)$ 和 $z = z_2(x, y)$ 給定，這里 $z1(x,y)?z2(x,y)z_1(x, y) \leqslant z_2(x, y)$ ， $Σ1\Sigma_1$ 取下側， $Σ2\Sigma_2$ 取上側， $Σ3\Sigma_3$ 是以 $D_{xy}$ 的邊界曲線為準線而母線平行于 $z$ 軸的柱面上的一部分，取外側。
$?Ω?R?zdv=?Dxy{∫z1(x,y)z2(x,y)?R?zdz}dxdy=?Dxy{R[x,y,z2(x,y)]?R[x,y,z1(x,y)]}dxdy\displaystyle\iiint\limits_{\Omega}\frac{\partial R}{\partial z}\mathrm{d}v=\iint\limits_{D_{xy}} \left\{ \int_{z_{1}(x,y)}^{z_{2}(x,y)} \frac{\partial R}{\partial z} \mathrm{d}z \right\} \mathrm{d}x \mathrm{d}y\\=\iint\limits_{D_{xy}}\left\{R\left[x,y,z_{2}\left(x,y\right)\right]-R\left[x,y,z_{1}\left(x,y\right)\right]\right\}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$
$?ΣR(x,y,z)dxdy=?Σ1R(x,y,z)dxdy+?Σ2R(x,y,z)dxdy+?Σ3R(x,y,z)dxdy=??DxyR(x,y,z1(x,y))dxdy+?DxyR(x,y,z2(x,y))dxdy\displaystyle\oiint\limits_{\Sigma}R(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iint\limits_{\Sigma_1}R(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y+\iint\limits_{\Sigma_2}R(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y+\iint\limits_{\Sigma_3}R(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\=-\iint\limits_{D_{xy}}R(x,y,z_1(x,y))\mathrm{d}x\mathrm{d}y+\iint\limits_{D_{xy}}R(x,y,z_2(x,y))\mathrm{d}x\mathrm{d}y$
上述兩個積分顯然相等
同理可得 $?Ω?P?xdv=?ΣP(x,y,z)dydz,?Ω?Q?ydv=?ΣQ(x,y,z)dzdx\displaystyle\iiint\limits_{\Omega} \frac{\partial P}{\partial x} \mathrm{d}v = \oiint\limits_{\Sigma} P(x, y, z) \mathrm{d}y \mathrm{d}z,\\\iiint\limits_{\Omega} \frac{\partial Q}{\partial y} \mathrm{d}v = \oiint\limits_{\Sigma} Q(x, y, z) \mathrm{d}z \mathrm{d}x$
如果不滿足穿過 $Ω$ 內部且平行于 $z$ 軸的直線與 $Ω$ 的邊界曲面 $Σ$ 的交點恰好是兩個，可以引進幾張輔助曲面把 $Ω\Omega$ 分為有限個閉區域，使得每個閉區域滿足這樣的條件，并注意到沿輔助曲面相反兩側的兩個曲面積分的絕對值相等而符號相反，相加時正好抵消，因此高斯公式對于這樣的閉區域仍然是正確的。

2. 沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件

空間單連通
對空間區域 $G$ ，如果 $G$ 內任一閉曲面所圍成的區域全屬于 $G$ ，則稱 $G$ 為空間二維單連通區域；
如果 $G$ 內任一閉曲線總可以張成一片完全屬于 $G$ 的曲面，則稱 $G$ 為空間一維單連通區域。

如果任何閉合曲線（或閉合曲面）能在空間區域縮于一點，則該空間區域是一維（或二維）單連通的
沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件
設 $G$ 是空間二維單連通區域。
若 $P (x, y, z)$ ， $Q (x, y, z)$ 與 $R (x, y, z)$ 在 $G$ 內具有一階連續偏導數，則曲面積分 $?ΣPdydz+Qdzdx+Rdxdy\iint\limits_{\Sigma}P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 在 $G$ 內與所取曲面 $Σ\Sigma$ 無關而只取決于 $Σ\Sigma$ 的邊界曲線（或沿 $G$ 內任一閉合曲面的曲面積分為零）的充分必要條件是 $?P?x+?Q?y+?R?z=0\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=0$ 在 $G$ 內恒成立。

沿 $G$ 內任一閉合曲面的曲面積分為零，這意味著對于具有相同邊界曲線的兩個曲面 $Σ1\Sigma_{1}$ 和 $Σ2\Sigma_{2}$ ，它們組合成一個閉合曲面（如 $Σ1?Σ2\Sigma_{1}-\Sigma_{2}$ ），積分差為零，故積分值相等。因此，積分只取決于邊界曲線。

3. 通量與散度

通量
設有向量場 $A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)kA(x,y,z)=P(x,y,z)\boldsymbol{i}+Q(x,y,z)\boldsymbol{j}+R(x,y,z)\boldsymbol{k}$ ，其中函數 $P$ 、 $Q$ 與 $R$ 均具有一階連續偏導數， $Σ\Sigma$ 是場內的一片有向曲面， $n\boldsymbol{n}$ 是 $Σ\Sigma$ 在點 $(x, y, z)$ 處的單位法向量，則積分 $?ΣA?ndS\displaystyle\iint\limits_{\Sigma}\boldsymbol{A}\cdot \boldsymbol{n}\mathrm{d}S$ 稱為向量場 $A$ 通過曲面 $Σ\Sigma$ 向著指定側的通量（或流量）。
散度
$?Ω(?P?x+?Q?y+?R?z)dv=?ΣvndS.\iiint\limits_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\mathrm{d}v=\oiint\limits_{\Sigma}v_{n}\mathrm{d}S.$ 以閉區域 $Ω\Omega$ 的體積 $V$ 除上式兩端，得 $1V?Ω(?P?x+?Q?y+?R?z)dv=1V?ΣvndS.\frac{1}{V} \iiint\limits_{\Omega} \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) \mathrm{d}v = \frac{1}{V} \oiint\limits_{\Sigma} v_n \mathrm{d}S.$ 應用積分中值定理于上式左端，得 $(?P?x+?Q?y+?R?z)∣(ξ,η,ζ)=1V?ΣvndS,\left. \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) \right|_{(\xi,\eta,\zeta)} = \frac{1}{V} \oiint\limits_{\Sigma} v_n\mathrm{d}S,$ 這里 $(ξ,η,ζ)(\xi,\eta,\zeta)$ 是 $Ω\Omega$ 內的某點。
令 $Ω\Omega$ 縮向一點 $M (x, y, z)$ ，取上式的極限，得 $?P?x+?Q?y+?R?z=lim?Ω→M1V?ΣvndS\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} = \lim_{\Omega \to M} \frac{1}{V}\oiint\limits_{\Sigma} v_n\mathrm{d}S$ 上式左端稱為向量場 $v\boldsymbol{v}$ 在點 $M$ 的通量密度或散度，記作 $div?v(M)\operatorname{div}\boldsymbol{v}(M)$ ，即 $div?v(M)=?P?x+?Q?y+?R?z.\operatorname{div}\boldsymbol{v}(M)= \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}.$ $div?v(M)\operatorname{div}\boldsymbol{v}(M)$ 可看做穩定流動的不可壓縮流體在點 $M$ 的源頭強度。
在 $div?v(M)>0\operatorname{div}\boldsymbol{v}(M) > 0$ 的點處，流體從該點向外發散，表示流體在該點處有正源；
在 $div?v(M)<0\operatorname{div}\boldsymbol{v}(M) < 0$ 的點處，流體向該點匯聚，表示流體在該點處有吸收流體的負源（又稱為匯或洞）；
在 $div?v(M)=0\operatorname{div}\boldsymbol{v}(M) = 0$ 的點處，表示流體在該點處無源。
向量場的散度
對于向量場 $P(x,y,z)\boldsymbol{i} + Q(x,y,z)\boldsymbol{j} + R(x,y,z)\boldsymbol{k}$ $?P?x+?Q?y+?R?z\displaystyle\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$ 叫做向量場 $A\boldsymbol{A}$ 的散度，記作 $div?A\operatorname{div}\boldsymbol{A}$ ，即 $div?A=?P?x+?Q?y+?R?z.\operatorname{div } \boldsymbol{A} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}.$ 利用向量微分算子 $?\nabla$ ，向量場 $A\boldsymbol{A}$ 的散度 $div?A\operatorname{div}\boldsymbol{A}$ 也可表示為 $??A\nabla\cdot\boldsymbol{A}$ ，即 $div?A=??A.\operatorname{div } \boldsymbol{A} = \nabla \cdot \boldsymbol{A}.$ 如果向量場 $A\boldsymbol{A}$ 的散度 $div?A\operatorname{div}\boldsymbol{A}$ 處處為零，那么稱向量場 $A\boldsymbol{A}$ 為無源場。
高斯公式的向量形式
$?Ωdiv?Adv=?Ω??Adv=?ΣAndS\iiint\limits_\Omega \operatorname{div}\boldsymbol{A}\mathrm{d}v=\iiint\limits_\Omega \nabla\cdot\boldsymbol{A}\mathrm{d}v=\oiint\limits_\Sigma A_n\mathrm{d}S$ 向量場 $A\boldsymbol{A}$ 通過閉合面 $Σ\Sigma$ 流向外側的通量等于向量場 $A\boldsymbol{A}$ 的散度在閉合面 $Σ\Sigma$ 所圍閉區域 $Ω\Omega$ 上的積分。