蒙特卡洛模擬入門筆記：從原理到代碼實踐

一、什么是蒙特卡洛模擬？

蒙特卡洛模擬是一種通過大量隨機實驗來解決復雜問題的方法。簡單說，就是用電腦模擬成千上萬次隨機事件，然后統計結果，以此估算一個問題的答案。

舉個生活中的例子：想知道 "擲 100 次骰子，總和在 300 到 400 之間的概率"，不需要真的擲 100 次骰子，而是用電腦模擬這個過程 10000 次，最后統計總和在 300-400 之間的次數占比 —— 這就是蒙特卡洛模擬的核心思路。

二、蒙特卡洛模擬的基本步驟

1. 確定問題的范圍（比如骰子的點數范圍是 1-6）
2. 生成大量隨機樣本（比如模擬擲 10000 次骰子）
3. 計算每個樣本的結果（比如每次擲骰子的總和）
4. 統計分析結果（比如計算平均值、概率等）

三、用 Python 實現蒙特卡洛模擬

下面我們用一個簡單的例子來實踐蒙特卡洛模擬，目標是估算函數y = sin(x) + 0.5x在x=0到x=10范圍內的平均輸出值。

步驟 1：導入需要的工具庫

首先需要導入兩個常用的 Python 庫：numpy用于數值計算和生成隨機數，matplotlib用于畫圖展示結果。

# 導入工具庫
import numpy as np  # 用于生成隨機數和數學計算
import matplotlib.pyplot as plt  # 用于繪制結果圖表

步驟 2：定義要模擬的函數

我們需要一個 "目標函數"，這里選擇簡單的y = sin(x) + 0.5x（sin 是正弦函數，不用深究數學原理，只需要知道輸入 x 會輸出對應的 y 即可）。

# 定義目標函數：輸入x，輸出對應的y值
def target_function(x):return np.sin(x) + 0.5 * x  # 函數公式：y = sin(x) + 0.5x

步驟 3：編寫蒙特卡洛模擬函數

這個函數的作用是：在指定范圍內隨機生成大量 x 值，計算對應的 y 值，然后把所有結果存起來。

def monte_carlo_simulation(func, min_x, max_x, num_samples):"""func：要模擬的函數min_x：x的最小值（范圍起點）max_x：x的最大值（范圍終點）num_samples：模擬次數（樣本數量）"""results = []  # 用列表存儲所有模擬結果# 重復num_samples次模擬for i in range(num_samples):# 生成一個在[min_x, max_x]之間的隨機x值x = np.random.uniform(min_x, max_x)# 計算這個x對應的函數值yy = func(x)# 把結果存入列表results.append(y)# 打印進度（每完成10%顯示一次）if (i + 1) % (num_samples // 10) == 0:print(f"已完成 {i + 1}/{num_samples} 次模擬")return results  # 返回所有模擬結果

步驟 4：設置參數并運行模擬

我們設定 x 的范圍是 0 到 10，模擬 1000 次（可以自己修改次數看看效果）。

# 設置模擬參數
x_min = 0          # x的最小值
x_max = 10         # x的最大值
sample_count = 1000  # 模擬次數（樣本數量）# 運行蒙特卡洛模擬
print("開始模擬...")
simulation_results = monte_carlo_simulation(func=target_function,min_x=x_min,max_x=x_max,num_samples=sample_count
)
print("模擬完成！")

運行后會看到進度提示：

開始模擬...
已完成 100/1000 次模擬
已完成 200/1000 次模擬
...
已完成 1000/1000 次模擬
模擬完成！

步驟 5：分析模擬結果

模擬得到大量 y 值后，我們可以計算它們的平均值（估算函數的平均輸出）和方差（估算結果的波動程度）。

# 計算統計指標
mean_value = np.mean(simulation_results)  # 平均值（期望值）
variance_value = np.var(simulation_results)  # 方差（波動程度）# 打印結果
print(f"\n統計結果：")
print(f"函數的平均輸出值：{mean_value:.2f}")  # .2f表示保留兩位小數
print(f"結果的方差（波動）：{variance_value:.2f}")

運行后會得到類似這樣的結果：

統計結果：
函數的平均輸出值：2.63
結果的方差（波動）：2.32

步驟 6：可視化模擬結果

用直方圖可以更直觀地看到所有 y 值的分布情況（哪些 y 值出現得更多）。

# 繪制直方圖
plt.figure(figsize=(10, 6))  # 設置圖表大小
plt.hist(simulation_results,  # 要展示的數據bins=30,  # 柱子的數量（越多越精細）edgecolor='black',  # 柱子邊緣顏色alpha=0.7  # 透明度（0-1）
)# 設置圖表標題和坐標軸標簽
plt.title('蒙特卡洛模擬結果分布', fontsize=15)
plt.xlabel('函數輸出值（y）', fontsize=12)
plt.ylabel('出現次數', fontsize=12)
plt.grid(alpha=0.3)  # 顯示網格線（alpha控制透明度）# 顯示圖表
plt.show()

運行后會看到一個直方圖，橫軸是函數的輸出值 y，縱軸是這個 y 值出現的次數。從圖中可以清晰地看到：大部分結果集中在 2-3 之間，和我們計算的平均值（2.63）一致。

四、嘗試修改參數，觀察變化

為了更好地理解蒙特卡洛模擬，可以嘗試修改以下參數，看看結果會發生什么變化：

1. 改變sample_count（比如改成 100 或 10000）：模擬次數越多，結果通常越穩定。
2. 調整x_min和x_max（比如改成 0 到 20）：x 的范圍變了，函數的輸出范圍也會變化。
3. 修改target_function（比如改成return x**2計算平方函數）：不同的函數會有不同的結果分布。

五、總結

蒙特卡洛模擬的核心就是：用大量隨機實驗代替復雜計算。它不需要我們推導復雜的數學公式，只需要設定好范圍，讓電腦重復足夠多次實驗，就能估算出問題的答案。這種方法在金融、天氣預測、游戲設計等很多領域都有廣泛應用，掌握它能幫你解決很多看似復雜的問題！