線性代數知識整理

一、求行列式

1、 套公式

（1）二階、三階行列式

$\left|\begin{array}{cc}1& 4\\ 5& 2\end{array}\right|$ = 1 * 2 - 4 * 5 = -18

$\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right|$ = 1 * 5 * 9 + 2 * 6 * 7 + 3 * 4 * 8 - 3 * 5 * 7 - 2 * 4 * 9 - 1 * 6 * 8 = 0

（2） 三角行列式

• 主對角線行列式

  $\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ 0& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ?& ?& ?& ?\\ 0& 0& \dots & a_{nn}\end{array}\right|$ = $\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& 0& \dots & 0\\ a_{21}& a_{22}& \dots & 0\\ ?& ?& ?& ?\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|$ = $\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& 0& \dots & 0\\ 0& a_{22}& \dots & 0\\ ?& ?& ?& ?\\ 0& 0& \dots & a_{nn}\end{array}\right|$ = ${\prod }_{i=1}^n{a}_{ii}$

• 副對角線行列式

  $$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & 0\\ ?& ?& ?& ?\\ a_{n1}& 0& \dots & 0\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}0& 0& \dots & a_{1n}\\ 0& 0& \dots & a_{2n}\\ ?& ?& ?& ?\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}0& 0& \dots & a_{1n}\\ 0& 0& \dots & 0\\ ?& ?& ?& ?\\ a_{n1}& 0& \dots & 0\end{array}\right|=(?1{)}^{\frac{n(n?1)}{2}}\prod _{i=1}^n{a}_{i,n?i+1}$$

（3）行和相等

$$D=\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ b& c& a\\ c& a& b\end{array}\right|$$

1. 利用行和相等的性質，將第2、3列加到第1列： $$D=\left|\begin{array}{ccc}a+b+c& b& c\\ a+b+c& c& a\\ a+b+c& a& b\end{array}\right|$$

2. 提出第1列的公因子 ((a+b+c))： $$D=(a+b+c)\left|\begin{array}{ccc}1& b& c\\ 1& c& a\\ 1& a& b\end{array}\right|$$

3. 進行行變換（($r_2$ - $r_1$, $r_3$ - $r_1$)）： $$D=(a+b+c)\left|\begin{array}{ccc}1& b& c\\ 0& c?b& a?c\\ 0& a?b& b?c\end{array}\right|$$

4. 按第1列展開計算： $$D=(a+b+c)?1?\left|\begin{array}{cc}c?b& a?c\\ a?b& b?c\end{array}\right|$$

5. 計算二階行列式： $$D=(a+b+c)\left[(c?b)(b?c)?(a?c)(a?b)\right]$$

6. 化簡最終結果： $$D=?(a+b+c)(a^2+b^2+c^2?ab?bc?ca)$$

（4）爪型行列式

利用斜爪消除豎爪或平爪

$D=\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 2& 0& 0\\ 1& 0& 3& 0\\ 1& 0& 0& 4\end{array}\right|$

核心思路 利用斜爪（第2行第2列、第3行第3列、第4行第4列的非零元素）消除橫爪（第一行除首元素外的元素），通過行變換將行列式轉化為更簡單的形式。

利用斜爪主元消除第一行的橫爪元素 對第一行進行行變換，減去各行與斜爪主元比值的乘積，即： $r_1=r_1?\frac{1}{2}{r}_2?\frac{1}{3}{r}_3?\frac{1}{4}{r}_4$

變換后行列式變為： $$D=\left|\begin{array}{cccc}?\frac{1}{12}& 0& 0& 0\\ 1& 2& 0& 0\\ 1& 0& 3& 0\\ 1& 0& 0& 4\end{array}\right|$$

計算下三角行列式的值 此時行列式為下三角行列式，其值等于主對角線元素的乘積： $$D=?\frac{1}{12}\times 2\times 3\times 4$$ = -2

（5）范德蒙德行列式
$$V_n(x_1,x_2,\dots ,x_n)=\left|\begin{array}{cccc}1& 1& ?& 1\\ x_1& x_2& ?& x_n\\ x_1^2& x_2^2& ?& x_n^2\\ ?& ?& ?& ?\\ x_1^{n?1}& x_2^{n?1}& ?& x_n^{n?1}\end{array}\right|=\prod _{\begin{array}{c}1\le i\le j\le n\end{array}}(x_j?x_i)$$

特征：第 i 行($i=1,2\dots ,n$) 元素是 ($x_1,x_2,,x_n$) 的 i - 1次冪，呈現 “冪次遞增” 的三角結構

（6） 按某一行(列)展開
$$|A|=\{\begin{array}{l}{a}_{i1}{A}_{i1}+a_{i2}{A}_{i2}+?+a_{in}{A}_{in}={\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{A}_{ij}(i=1,2,?,n),\\ a_{1j}{A}_{1j}+a_{2j}{A}_{2j}+?+a_{nj}{A}_{nj}={\sum }_{i=1}^n{a}_{ij}{A}_{ij}(j=1,2,?,n).\end{array}$$

（7）拉普拉斯展開式（分塊矩陣求行列式）

設 $\mathbf{A}$ 為 $m$ 階矩陣，$\mathbf{B}$ 為 $n$ 階矩陣，則

$$\begin{array}{rl}\left|\begin{array}{cc}\mathbf{A}& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& \mathbf{B}\end{array}\right|& =\left|\begin{array}{cc}\mathbf{A}& \mathbf{C}\\ \mathbf{O}& \mathbf{B}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\mathbf{A}& \mathbf{O}\\ \mathbf{C}& \mathbf{B}\end{array}\right|=|\mathbf{A}||\mathbf{B}|,\\ & \\ \left|\begin{array}{cc}\mathbf{O}& \mathbf{A}\\ \mathbf{B}& \mathbf{O}\end{array}\right|& =\left|\begin{array}{cc}\mathbf{C}& \mathbf{A}\\ \mathbf{B}& \mathbf{O}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\mathbf{O}& \mathbf{A}\\ \mathbf{B}& \mathbf{C}\end{array}\right|=(?1{)}^{mn}|\mathbf{A}||\mathbf{B}|.\end{array}$$

所謂$(?1{)}^{mn}$即副對角線元素換到主對角線上，交換的次數

2、利用性質，化為可套公式

性質1：行列互換，其值不變，即$|\mathbf{A}|=|{\mathbf{A}}^{\mathbf{T}}|$

性質2：若行列式中某行（列）元素全為零，則行列式為零

性質3：若行列式中某行（列）元素有公因子k(k ≠ 0)，則k可提到行列式外面，即

$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ ?& ?& & ?\\ k{a}_{i1}& k{a}_{i2}& \dots & k{a}_{in}\\ ?& ?& & ?\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|=k\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ ?& ?& & ?\\ a_{i1}& a_{i2}& \dots & a_{in}\\ ?& ?& & ?\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|$$

性質4：行列式中某行（列）元素均是兩個數之和，則可拆成兩個行列式之和，即

$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ ?& ?& & ?\\ a_{i1}+b_{i1}& a_{i2}+b_{i2}& \dots & a_{in}+b_{in}\\ ?& ?& & ?\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ ?& ?& & ?\\ a_{i1}& a_{i2}& \dots & a_{in}\\ ?& ?& & ?\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ ?& ?& & ?\\ b_{i1}& b_{i2}& \dots & b_{in}\\ ?& ?& & ?\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|$$

性質5：行列式中兩行（列）互換，行列式變號

性質6：行列式中的兩行（列）元素相等或對應成比例，則行列式為零

性質7：行列式中某行（列）的k倍加到另一行（列），行列式不變

3、抽象行列式

一般使用$|\mathbf{A}\mathbf{B}|=|\mathbf{A}||\mathbf{B}|$

【例】${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3均為3維列向量，已知\mathbf{A}=[{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3],\mathbf{B}=[{\mathbf{\alpha }}_1?{\mathbf{\alpha }}_2+2{\mathbf{\alpha }}_3,2{\mathbf{\alpha }}_1+3{\mathbf{\alpha }}_2?5{\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\alpha }}_1+2{\mathbf{\alpha }}_2?{\mathbf{\alpha }}_3]且|\mathbf{A}|=2，則|\mathbf{B}?\mathbf{A}|=\underline{10}$

$$|\mathbf{B}?\mathbf{A}|=\left|\begin{array}{ccc}?{\mathbf{\alpha }}_2+2{\mathbf{\alpha }}_3,& 2{\mathbf{\alpha }}_1+2{\mathbf{\alpha }}_2?5{\mathbf{\alpha }}_3,& {\mathbf{\alpha }}_1+2{\mathbf{\alpha }}_2?{\mathbf{\alpha }}_3\end{array}\right|\stackrel{(?)}{=}\left|[{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3]\left[\begin{array}{ccc}0& 2& 1\\ ?1& 2& 2\\ 2& ?5& ?2\end{array}\right]\right|$$

$$=|{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3|\left|\begin{array}{ccc}0& 2& 1\\ ?1& 2& 2\\ 2& ?5& ?2\end{array}\right|=5$$

4、抽象向量

例如$|{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3|=5$ 求 $[{\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_2?{\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\alpha }}_3?{\mathbf{\alpha }}_1]$

方法一：利用行列式性質

方法二：化矩陣之積

$[{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3]\left|\begin{array}{ccc}1& 0& ?1\\ 1& 1& 0\\ 0& ?1& 1\end{array}\right|$

二、代數余子式的線性組合

設行列式 ( D ) 為：

$D=\left|\begin{array}{cccc}1& ?3& 1& ?2\\ 2& ?5& ?2& ?2\\ 0& ?4& 5& 1\\ ?3& 9& ?6& 7\end{array}\right|$ ，其中 ( $M_{3j}$ ) 表示 ( D ) 中第 3 行第 ( j ) 列元素的余子式（j = 1,2,3,4 ），求 $M_{31}+3M_{32}?2M_{33}+2M_{34}$ 的值。

方法一：

$M_{31}+3M_{32}?2M_{33}+2M_{34}=A_{31}?3A_{32}?2A_{33}?2A_{34}$

即求$\left|\begin{array}{cccc}1& ?3& 1& ?2\\ 2& ?5& ?2& ?2\\ 1& ?3& ?2& ?2\\ ?3& 9& ?6& 7\end{array}\right|$ 的值，值為-3

方法二：求$A^{?}$

$${\mathbf{A}}^{?}=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& ?& A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& ?& A_{n2}\\ ?& ?& ?& ?\\ A_{1n}& A_{2n}& ?& A_{nn}\end{array}\right)=|A|A^{?1}$$

三、求$A^n$

方法一：若r(A)=1,A可以寫作$\alpha {\beta }^T$, $A^n=\alpha {\beta }^T\alpha {\beta }^T???\alpha {\beta }^T=((tr(A){)}^{n?1}A$

方法二：相似對角化，$P^{?1}AP=\Lambda =>A^n=P{\Lambda }^n{P}^{?1}$

方法三：${\left|\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& B\end{array}\right|}^n=\left|\begin{array}{cc}{A}^n& 0\\ 0& B^n\end{array}\right|$

方法四：數學歸納法，如求$\left|\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ ?1& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right|$

四、證明A可逆

? |A| = 0

<=> A的列向量線性無關

<=> Ax=0只有零解

<=> A沒有0特征值

<=> p+q=n（正負慣性指數）

五、求A的逆

1、定義法

已知矩陣滿足的等式（如冪等式），通過構造 ( $\mathbf{AB}=\mathbf{E}$ ) 求逆

【例】

已知 ${\mathbf{A}}^2=\mathbf{E}，求(\mathbf{A}+2\mathbf{E}{)}^{?1}$

由 ${\mathbf{A}}^2?\mathbf{E}=0$，因式分解得： ${\mathbf{A}}^2?\mathbf{E}=(\mathbf{A}+2\mathbf{E})(\mathbf{A}?2\mathbf{E})+3\mathbf{E}=0$
調整后構造 $\mathbf{AB}=\mathbf{E}$：

$(\mathbf{A}+2\mathbf{E})?\frac{2\mathbf{E}?\mathbf{A}}{3}=\mathbf{E}$
因此 $(\mathbf{A}+2\mathbf{E}{)}^{?1}=\frac{2\mathbf{E}?\mathbf{A}}{3}$

2、初等變換

$(\mathbf{A}\mid \mathbf{E})\stackrel{\text{初等行變換}}{\to }(\mathbf{E}\mid {\mathbf{A}}^{?1})$

3、公式

二階矩陣求逆公式： 設二階矩陣為 $$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$$ 若其行列式不等于0（即矩陣可逆），則其逆矩陣為： $${\mathbf{A}}^{?1}=\frac{1}{ad?bc}\left(\begin{array}{cc}d& ?b\\ ?c& a\end{array}\right)$$

分塊矩陣求逆

${\left(\begin{array}{cc}\mathbf{A}& 0\\ 0& \mathbf{B}\end{array}\right)}^{?1}=\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{A}}^{?1}& 0\\ 0& {\mathbf{B}}^{?1}\end{array}\right)$

${\left(\begin{array}{cc}0& \mathbf{A}\\ \mathbf{B}& 0\end{array}\right)}^{?1}=\left(\begin{array}{cc}0& {\mathbf{B}}^{?1}\\ {\mathbf{A}}^{?1}& 0\end{array}\right)$

六、求秩

方法一：定義法

設A是m×n矩陣，若存在k階子式不為零，而任意k+1階子式（如果有的話）全為零，則r(A)=k

方法二：化行階梯矩陣

方法三：線性相關性

方法四：秩公式

設 $\mathbf{A}$ 為矩陣，以下是矩陣秩 $r(\mathbf{A}$) 的常用性質

① 0≤r(A)≤min?{m,n}0 \leq r(\boldsymbol{A}) \leq \min\{m, n\}0≤r(A)≤min{m,n}

② $r(k\mathbf{A})=r(\mathbf{A})(k\ne 0)$

③ r(AB)≤min?{r(A),r(B)}r(\boldsymbol{AB}) \leq \min\{r(\boldsymbol{A}), r(\boldsymbol{B})\}r(AB)≤min{r(A),r(B)}

④對同型矩陣A、B

$r(\mathbf{A}+\mathbf{B})\le r(\mathbf{A})+r(\mathbf{B})$

⑤ $r({\mathbf{A}}^{?})=?\begin{array}{ll}n,& r(\mathbf{A})=n\\ 1,& r(\mathbf{A})=n?1,其中A為n(n\ge 2)階方陣\\ 0,& r(\mathbf{A})<n?1\end{array}$

⑥設 $\mathbf{A}$ 是 $m\times n$矩陣，$\mathbf{P}$ （m階）、 $\mathbf{Q}$（ n 階）是可逆矩陣，則：
$r(\mathbf{A})=r(\mathbf{PA})=r(\mathbf{AQ})=r(\mathbf{PAQ})$

⑦ $若A_{m\times n}{B}_{n\times s}=\mathbf{O}，則r(\mathbf{A})+r(\mathbf{B})\le n$

⑧ $r(\mathbf{A})=r({\mathbf{A}}^{\text{T}})=r({\mathbf{A}}^{\text{T}}\mathbf{A})=r(\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\text{T}})$

七、線性表示的判定

定義：

若向量β能表示成向量組${\alpha }_1,{\alpha }_2,???，{\alpha }_m$的線性組合，即存在m個數$k_1,k_2,???，k_m$，使得$\beta =k_1{\alpha }_1,k_2{\alpha }_2,???，k_m{\alpha }_m$,則稱向量β能被向量組${\alpha }_1,{\alpha }_2,???，{\alpha }_m$線性表示

<=>秩 r(${\alpha }_1,{\alpha }_2,???，{\alpha }_m$) = r(${\alpha }_1,{\alpha }_2,???，{\alpha }_m,\beta$)

<=>方程組 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,???，{\alpha }_m$x = β有解

<= ${\alpha }_1,{\alpha }_2,???，{\alpha }_m$線性無關，${\alpha }_1,{\alpha }_2,???，{\alpha }_m，\beta$線性相關

<= m個m維${\alpha }_1,{\alpha }_2,???，{\alpha }_m$線性無關，任意m維β可被${\alpha }_1,{\alpha }_2,???，{\alpha }_m$唯一表示

【例】

向量的線性表示綜合應用 已知向量組： $${\mathbf{\alpha }}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right),{\mathbf{\alpha }}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right),{\mathbf{\alpha }}_3=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 1\end{array}\right),\mathbf{\beta }=\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 1\end{array}\right)$$

回答下列問題：

1. 判斷向量$\mathbf{\beta }$能否由向量組${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$線性表示？若能，寫出一個線性表示式。

2. 利用秩的關系驗證第1題的結論。

3. 若存在向量$\mathbf{\gamma }$，使得${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\mathbf{\gamma }$線性無關，且${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\mathbf{\gamma },\mathbf{\beta }$線性相關，證明$\mathbf{\beta }$能由${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\mathbf{\gamma }$線性表示。

【解】

1. 判斷$\mathbf{\beta }$能否由${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$線性表示 假設$\mathbf{\beta }=k_1{\mathbf{\alpha }}_1+k_2{\mathbf{\alpha }}_2+k_3{\mathbf{\alpha }}_3$，展開得方程組： $$?\begin{array}{l}{k}_1+k_2+2k_3=3\\ 2k_1+k_2+3k_3=4\\ k_1+0k_2+k_3=1\end{array}$$ 對增廣矩陣作初等行變換： $$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 2& 3\\ 2& 1& 3& 4\\ 1& 0& 1& 1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 1\\ 0& 1& 1& 2\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$ 方程組有解（無窮多解），取$k_3=0$，得$k_1=1,k_2=2$，故一個線性表示式為： $$\mathbf{\beta }={\mathbf{\alpha }}_1+2{\mathbf{\alpha }}_2+0{\mathbf{\alpha }}_3$$
2. 用秩的關系驗證 構造矩陣： 向量組矩陣：$\mathbf{A}=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3)$ 增廣矩陣：$\mathbf{B}=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3,\mathbf{\beta })$ 由第1題的行變換結果可知： $$r(\mathbf{A})=2,r(\mathbf{B})=2$$ 根據線性表示的等價條件： $$r({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3)=r({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3,\mathbf{\beta })=2$$ 故$\mathbf{\beta }$能由${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$線性表示。
3. 證明$\mathbf{\beta }$能由${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\mathbf{\gamma }$線性表示 已知條件： ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\mathbf{\gamma }$線性無關 $?r({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\mathbf{\gamma })=3$ ， ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\mathbf{\gamma },\mathbf{\beta }$線性相關 $?r({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\mathbf{\gamma },\mathbf{\beta })\le 3$ 又因為： $$r({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\mathbf{\gamma })\le r({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\mathbf{\gamma },\mathbf{\beta })$$ 所以$r({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\mathbf{\gamma },\mathbf{\beta })=3$，即： $$r({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\mathbf{\gamma })=r({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\mathbf{\gamma },\mathbf{\beta })$$ 根據線性表示的等價條件，$\mathbf{\beta }$能由${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\mathbf{\gamma }$線性表示。

八、線性無關

證明**${\alpha }_1,{\alpha }_2,???，{\alpha }_n$**線性無關

<=> 定義$k_1{\alpha }_1,k_2{\alpha }_2,???，k_n{\alpha }_n=0當且僅當k_i全為0$

<=>秩r(${\alpha }_1,{\alpha }_2,???，{\alpha }_n$) = n

<=>方程 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,???，{\alpha }_n$x = 0 只有零解

<=> 任意一個${\alpha }_i$均不可由其他α表示

<= |${\alpha }_1,{\alpha }_2,???，{\alpha }_n$| ≠ 0

九、求極大線性無關組

①將列向量們組成矩陣A，作初等行變換，化為行階梯形矩陣，并確定r(A)

②按列找出一個秩為r(A)的子矩陣，即為一個極大線性無關組

【例】

已知列向量組：
$${\mathbf{\alpha }}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\\ 3\end{array}\right),{\mathbf{\alpha }}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\\ 3\end{array}\right),{\mathbf{\alpha }}_3=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right),{\mathbf{\alpha }}_4=\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ 4\\ 6\end{array}\right)$$

按以下步驟求該向量組的極大線性無關組：

1. 將列向量組成矩陣并化為行階梯形，確定矩陣的秩；
2. 根據行階梯形矩陣找出一個極大線性無關組。

【解】

將列向量按順序組成矩陣 $\mathbf{A}$：
$$\mathbf{A}=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\alpha }}_4)=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 2\\ 2& 1& 1& 5\\ 2& 2& 0& 4\\ 3& 3& 0& 6\end{array}\right)$$

對矩陣作初等行變換：
$$\begin{array}{rl}& \left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 2\\ 2& 1& 1& 5\\ 2& 2& 0& 4\\ 3& 3& 0& 6\end{array}\right)\underset{\begin{array}{c}{r}_2?2r_1\\ r_3?2r_1\\ r_4?3r_1\end{array}}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 2\\ 0& ?1& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\stackrel{?r_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 2\\ 0& 1& ?1& ?1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\end{array}$$

行階梯形矩陣有 2個非零行，因此矩陣的秩 $r(\mathbf{A})=2$。

在行階梯形矩陣中，非零行的首個非零元素（主元）所在的列對應原矩陣的列向量，構成極大線性無關組。

觀察行階梯形矩陣：

• 第1個主元在第1列
• 第2個主元在第2列

因此，原向量組中對應的列向量 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2$ 構成一個極大線性無關組（選法不唯一）。

十、等價向量組

若

（Ⅰ）${\alpha }_1,{\alpha }_2,???，{\alpha }_s$

（Ⅱ） ${\beta }_1,{\beta }_2,???，{\beta }_t$

證明（Ⅰ）（Ⅱ）等價

<=>（Ⅰ）中的向量可由（Ⅱ）表出且r(Ⅰ) = r(Ⅱ)

<=>r(Ⅰ) = r(Ⅱ) = r(Ⅰ,Ⅱ)

若r(Ⅰ) = r(Ⅰ,Ⅱ)，（Ⅱ）可由（Ⅰ）線性表示

若r(Ⅱ) = r(Ⅰ,Ⅱ)，（Ⅰ）可由（Ⅱ）線性表示

應注意等價矩陣和等價向量組的聯系和區別

【例】

已知向量組：
$$\text{（Ⅰ）}{\mathbf{\alpha }}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right),{\mathbf{\alpha }}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)$$
$$\text{（Ⅱ）}{\mathbf{\beta }}_1=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ ?1\end{array}\right),{\mathbf{\beta }}_2=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right),{\mathbf{\beta }}_3=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)$$

完成下列問題：

1. 證明向量組（Ⅰ）與（Ⅱ）等價；
2. 說明等價向量組與等價矩陣的區別

【解】

構造矩陣 $\mathbf{A}=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2)$ 并求秩：
$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\stackrel{r_3?r_1}{\to }\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\\ 0& ?1\end{array}\right)\stackrel{r_3+r_2}{\to }\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$$
得 $r(\text{Ⅰ})=2$。

構造矩陣 $\mathbf{B}=({\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,{\mathbf{\beta }}_3)$ 并求秩：
$$\begin{gathered} \mathbf{B}=\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 1\\ 1& 1& 1\\ ?1& 1& 0\end{array}\right)\stackrel{r_1?r_2 \\ }{\to }\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 2& 1\\ 0& 2& 1\end{array}\right)\stackrel{r_3?r_2}{\to }\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 2& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right) \end{gathered}$$
得 $r(\text{Ⅱ})=2$

構造 $\mathbf{C}=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,{\mathbf{\beta }}_3)$，通過行變換得：
$$r(\mathbf{C})=2$$
即 $r(\text{Ⅰ},\text{Ⅱ})=2$。

結論：

因 $r(\text{Ⅰ})=r(\text{Ⅱ})=r(\text{Ⅰ},\text{Ⅱ})=2$，故向量組（Ⅰ）與（Ⅱ）等價。

對比項	等價向量組	等價矩陣
定義	互相可線性表示的向量組	經有限次初等變換可互化的矩陣
核心條件	$r(\text{Ⅰ})=r(\text{Ⅱ})=r(\text{Ⅰ},\text{Ⅱ})$	同型且秩相等
維度要求	向量需同維（不一定同個數）	必須同型（行數和列數均相同）
應用場景	線性表示、基變換等	矩陣秩的判定、方程組同解性等