relaxed_madd 這條指令到底做了什么

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核心：relaxed_madd 是一個分量級別 (Component-wise) 的操作

首先，最重要的一點是：v128.relaxed_madd<f32>(a, b, c) 不是矩陣乘法。它是一個在三個向量 a, b, c 之間進行的、逐個分量的、并行的融合乘加操作。

這三個向量 a, b, c 都是 v128 類型，我們可以把它們看作包含四個 32位浮點數 (f32) 的數組。

1. 定義我們的輸入向量

讓我們用數學形式來表示這三個輸入向量 a, b, c：

• 向量 $\vec{a}=\left(\begin{array}{c}{a}_0\\ a_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right)$
• 向量 $\vec{b}=\left(\begin{array}{c}{b}_0\\ b_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right)$
• 向量 $\vec{c}=\left(\begin{array}{c}{c}_0\\ c_1\\ c_2\\ c_3\end{array}\right)$

這里的 $a_0,a_1,\dots ,c_3$ 都是普通的 32 位浮點數。

2. relaxed_madd 的數學公式

v128.relaxed_madd<f32>(a, b, c) 這條指令執行的計算，其結果是一個新的向量，我們稱之為 $ \vec{r} $ (result)。這個計算的數學公式是：

$\vec{r}=(\vec{a}\odot \vec{b})+\vec{c}$

這里的 $\odot$ 符號代表 哈達瑪積 (Hadamard Product)，也就是分量相乘 (component-wise multiplication)。

3. 展開公式，看清細節

把上面的公式展開到每一個分量上，就能看清它到底發生了什么。結果向量 $\vec{r}$ 的四個分量 $r_0,r_1,r_2,r_3$ 是這樣并行計算出來的：

$\vec{r}=\left(\begin{array}{c}{r}_0\\ r_1\\ r_2\\ r_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{a}_0?b_0+c_0\\ a_1?b_1+c_1\\ a_2?b_2+c_2\\ a_3?b_3+c_3\end{array}\right)$

這就是 relaxed_madd 的全部真相：它在一條指令里，同時并行地完成了這四個獨立的融合乘加運算。

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它在你的矩陣乘法代碼中是如何被應用的？

現在我們把你代碼中的一行拿出來，用這個公式來解釋：

// 代碼行
res0 = v128.relaxed_madd<f32>(sA0, rB0, res0_prev); 
// (我把之前的 res0 重命名為 res0_prev 以便區分)

這里的輸入是什么？

• sA0: 這是一個由矩陣 A 的元素 A[0][0] 廣播 (splat) 而來的向量。
  $\overrightarrow{sA0}=\left(\begin{array}{c}A[0][0]\\ A[0][0]\\ A[0][0]\\ A[0][0]\end{array}\right)$

• rB0: 這是矩陣 B 的第一行向量。
  $\overrightarrow{rB0}=\left(\begin{array}{c}B[0][0]\\ B[0][1]\\ B[0][2]\\ B[0][3]\end{array}\right)$

• res0_prev: 這是上一步計算的結果（累加值）。

那么，v128.relaxed_madd<f32>(sA0, rB0, res0_prev) 這一步到底計算了什么？我們套用上面的公式：

$\overrightarrow{res0}=(\overrightarrow{sA0}\odot \overrightarrow{rB0})+\overrightarrow{res{0}_{prev}}$

展開來看就是：

$\overrightarrow{res0}=\left(\begin{array}{c}A[0][0]?B[0][0]+res{0}_{prev,0}\\ A[0][0]?B[0][1]+res{0}_{prev,1}\\ A[0][0]?B[0][2]+res{0}_{prev,2}\\ A[0][0]?B[0][3]+res{0}_{prev,3}\end{array}\right)$

這完美地對應了我們矩陣乘法思想：用 A 的一個標量元素，去數乘 B 的一整個行向量，然后加到累加器上。

當你把四次 relaxed_madd 調用鏈接起來后，最終的結果 res0 的第一個分量就是：
$r_0=(A[0][0]?B[0][0])+(A[0][1]?B[1][0])+(A[0][2]?B[2][0])+(A[0][3]?B[3][0])$
這正好是結果矩陣 C 的 C[0][0] 元素！其他分量同理。

FMA 的“融合”體現在哪里？

“融合” (Fused) 的意思是，在計算 $a_i?b_i+c_i$ 時：

1. 計算 $a_i?b_i$ 的乘積，得到一個內部的、高精度的中間結果（比如 80 位浮點數）。
2. 不進行舍入，直接用這個高精度結果與 $c_i$ 相加。
3. 對最終的和只進行一次舍入，得到 32 位的浮點數結果。

相比之下，非融合的 mul + add 會進行兩次舍入，可能會損失精度。更重要的是，FMA 是一條硬件指令，吞吐量更高。