代數——第4章——線性算子(算符)(Michael Artin)

第 4 章 ?線性算子(Linear Operators)

That confusions of thought and errors of reasoning

still darken the beginnings of Algebra,

is the earnest and just complaint of sober and thoughtful men.

(思維混亂和推理錯誤

仍然使代數的開端變得模糊不清，

這是清醒而富于思考的人誠摯而公正的抱怨。)

---------------------------------------------------William Rowan Hamilton先生

4.1? 維數公式(The dimension formula)

4.2? 線性變換矩陣(The matrix of a linear transformation)

4.3? 線性算子(或算符)(Linear operators)

4.4? 特征向量(Eigenvectors)

4.5? 特征多項式(The characteristic polynomial)

4.6? 三角形和對角形(Triangular and diagonal forms)

4.7? Jordan形式(Jordan form)

4.1? 維數公式(The dimension formula)

??? 從一個域(field)(譯注：見3.2)?F?上的向量空間到其上的另一個向量空間的一個線性變換(A linear transformation)?T:V ? W 是一個與加法和標量乘兼容的映射：

(4.1.1) ??? $T(v_{1} + v_{2}) = T(v_{1}) + T(v_{2})$ ??和?? $T(cv_{1}) = c T(v_{1})$ ??( 對于 V 中的所有? $v_{1}$ ?和? $v_{2}$ ?以及 F中的所有 c )。這可類比于群的同態(homomorphism)，并且稱其為同態也合適。線性變換與任意線性組合兼容：

(4.1.2)? ??? $T(\sum_{i}v_{i} c_{i}) = \sum_{i}T(v_{i}) c_{i}$ ? ? 。

左乘一個其項來自域?F?的 m×n 矩陣?A?而發送 X ? AX (譯注：“?”為右向波浪箭頭(squiggle))的映射

(4.1.3)? ? ?? $F^{n}\overset{A}{\longrightarrow}F^{m}$ ??

是一個線性變換。事實上，對于矩陣?A，有? $A(X_{1} + X_{2}) = AX_{1} + AX_{2}$ ??，且? $A(cX ) = cA(X )$ ?。

若? $B = (v_{1} ,...,v_{n})$ ??是域 F?上的向量空間 V?的一個子集，則發送??X ? BX? 的映射? $F^{n} \longrightarrow V$ ?的映射是一個線性變換。?另一個線性變換的例子：令? $P_{n}$ ??為實數多項式函數

(4.1.4) ??? ?????????????????? $a_{n} t^{n} + a_{n-1} t^{n-1} + ... + a_{1}t + a_{0}$ ??

為最多n階的向量空間，則其導數? $\frac{d}{dt}$ ?定義了一個從? $P_{n}$ ? 到?? $P_{n-1}$ ?的線性變換。存在兩個與線性變換緊密聯系的重要子空間：線性變換的?核?(kernel)及其?像(image)。

(4.1.5) ??? ker T = T?的核 = { v∈V |T(v) = 0 } ，

??????????? img T = T?的像 = { w∈W | w = T(v?) (對某個 v∈V ) } 。

??? 核通常稱為線性變換的零空間(nullspace)。由于我們可以基于與同態(homomorphisms)的類比進行猜測，核是的V?一個子空間，而像是 W 的一個子空間。

??? 這一節的主要結論融合于下面的一個定理中。

定理 4.1.6 (維數公式): 令 T:V ? W 為一個線性變換，則

???????????????????? dim(ker T ) + dim(im T ) = dim(V ) 。

一個線性變換 T 的零化度?(nullity)和?秩(數)?(rank，或階數)分別是核和像的維數，一個矩陣A 的零化度和秩按類似方式定義。使用這個術語，定理(4.1.6)就成為

(4.1.7)??????? 零化度 + 秩 = V的維數。

定理 4.1.6 的證明：

我們假設 V?是有限維的，比如是?n?維的。令 k 為 ker T 的維數，并令?? $(u_{1}, ..., u_{k})$ ??為核的一組基，我們將這個集合擴展成 V 的一組基：

(4.1.8)?? ? $(u_{1}, ..., u_{k}; v_{1}, ..., v_{n-k})$ ? 。

(參見(3.4.15))。對于 i = 1,...,n - k, 令? $w_{i} = T(v_{i})$ ??。若我們能證明?? $C=(w_{1},..., w_{n-k})$ ??

是像的一組基，則將能推導出像的維數是 n – k ,這將能證明這個定理。

??? 我們必需證明 C 生成(或“張成”)(spans)這個像并且是一個線性無關的集合。令 w 為像的一個元素，則對于 V 中的某個 v 有 w = T(v)。我們根據這組基寫出這個v :

$v = a_{1} u_{1} + ... + a_{k} u_{k} + b_{1} v_{1} + ... + a_{n-k} u_{n-k}$ ? ,

并應用線性變換 T ，注意?? $T(u_{i})=0$ ? :

$w = T(v) = b_{1} w_{1} + ... + b_{n-k} w_{n-k}$ ? 。

因此，C生成?w 。

??? 接下來，我們證明C是線性無關的。假設我們有一個線性關系

(4.1.9) ?? $c_{1} w_{1} + ... + c_{n-k} w_{n-k} = 0$ ? 。

令?? $v = c_{1} v_{1} + ... + c_{n-k} v_{n-k}$ ??，其中， $v_{i}$ ??是 (4.1.8) 中的向量。則

$T(v) = c_{1} w_{1} + ... + c_{n-k} w_{n-k} = 0$ ? ,

因此，v?在零空間中，我們根據零空間的基? $(u_{1}, ..., u_{k})$ ?來記 v ，比如記為? $v = a_{1} u_{1} + ... + a_{k} u_{k}$ ? 。則

$-a_{1}u_{1} - ... - a_{k} u_{k} + c_{1} v_{1} + ... + c_{n-k} v_{n-k} = - v + v = 0$ ? ?。

但是基 (4.1.8) 是線性無關的，因此，? $-a_{1} = 0,...,-a_{k} = 0$ ??，并且?? $c_{1 }= 0 ,...,c_{n-k} = 0$ ??

。關系 (4.1.9) 是平凡的(譯注：即只有系數全部為零才滿足這個表達式，這種情況對我們是沒有意義的)，因此，C?是獨立的。

??? 當T 是一個使用矩陣A?(4.1.3)進行的左乘的時候，T?的核(A?的零空間)是齊性方程組 AX = 0 的解集。T?的像是列空間(column space)(由A?的列生成的空間)，其也是? $F^{m}$ ?中使得線性方程 AX = B 有解(3.4.6) 的向量?B?的集合。

一個熟悉的事實是，齊性方程?AX = 0 的解加上非齊性方程 AX = B 的特解? $X_{0}$ ??，我們就得到了非齊性方程的所有解。換言之，AX = B 的解集是? $F_{n}$ ?中零空間 N 的可加陪集(coset)? $X_{0}+N$ ?。

一個其行列式不為零 0 的?n×n??矩陣是可逆的。對于每一個B ，方程組 AX = B 具有唯一解。在這種情況下，零空間是 {0} ，列空間是整個空間? $F^{n}$ ??。在另一方面，若行列式是 0 ，零空間 N 具有正的維數，而其像 (列向量) 具有小于n?的維數。并非所有方程 AX = B 都有解，而有解的方程可以具有超過一個解，因為解集是 N 的陪集。

4.2? 線性變換矩陣(The matrix of a linear transformation)

??? 從一個列向量空間到另一個列向量空間的每一個線性變換都是一個左乘矩陣的運算。

引理 4.2.1 令?? $T : F^{n} \longrightarrow F^{m}$ ? 為一個列向量空間之間的線性變換，并令? $T(e_{j})$ ??的坐標向量為 ? $A_{j} = (a_{1j},...,a_{mj})^{t}$ ??。令 A 為列為? $A_{1} ,...,A_{n}$ ?的 n×n 矩陣。則 T 在? $F^{n}$ ?的向量上等效于左乘 A 。

證明：

$T( X ) = T(\sum_{j}e_{j} x_{j}) = \sum_{j}T(e_{j})x_{j} = \sum_{j}A_{j} x_{j} = AX$ ? 。

例如，令? $c=\cos{\theta}$ ? ,? $s=\sin{\theta}$ ?。則平面圍繞原點逆時針進行角度為θ?的旋轉?? $\rho:\mathbb{R}^{2} \rightarrow :\mathbb{R}^{2}$ ?是一個線性變換。其變換矩陣為

(4.2.2) ? ? ? $R=\begin{bmatrix} c&-s\\ s&c \end{bmatrix}$ ? ? 。

我們來驗證用這個矩陣旋轉平面的乘法。我們將向量?X?記為? $r(\cos{\alpha},\sin{\alpha})^{t}$ ??，其中，r?是?X?的長度，令? $c^{'} = \cos{\alpha}$ ? 和?? $s^{'} = \sin{\alpha}$ ???。正弦和余弦的加法公式表明

$RX=r\begin{bmatrix} c&-s\\ s&c \end{bmatrix}\begin{bmatrix} c^{'}\\ s^{'} \end{bmatrix}=r\begin{bmatrix} cc^{'}-ss^{'} \\ sc^{'}+cs^{'} \end{bmatrix}= r\begin{bmatrix} \cos{(\theta+\alpha)} \\\sin{(\theta+\alpha)}\end{bmatrix}$ ? 。

因此，RX可由X旋轉至?θ 而獲得，正如斷言所示。

???????? 對于兩個空間V?和?W，一旦選定了其基，我們就可以使用任何線性變換 T:V ? W 進行與引理 4.2.1 類似的計算。若? $\mathbf{B}= (v_{1}, ..., v_{n})$ ??是V?的一組基，我們用簡記形式 T (B)來表示超向量(hypervector)(譯注：高維向量)

(4.2.3) ??????????? $T(\mathbf{B}) = (T(v_{1}),..., T(v_{n}))$ ? 。

若?? $v = BX = v_{1} x_{1} + ... + v_{n} x_{n}$ ??，則

(4.2.4)? ?? $T(v) = T(v_{1}) x_{1} + ...+ T(v_{n}) x_{n} = T(\mathbf{B})X$ ? 。

命題 4.2.5? 令 T : V ? W? 為一個線性變換，并令 ? $\mathbf{B} = ( v_{1} ,..., v_{n} )$ ??和? $\mathbf{C} = ( w_{1} ,..., w_{n} )$ ??分別為 V 和 W 的基。令 X 為一個任意向量 v 關于基B 的坐標向量，并令 Y 為其像 T?(v) 的坐標向量。因此，v = BX 且 T = CY? 。則存在一個具有對偶屬性的 m?×n 矩陣 A ，使得

(4.2.6)?? T?(B) = CA? 且 AX = Y?? 。

這個矩陣 A 稱為 T 關于兩個基的變換矩陣。(4.2.6) 中任一屬性都刻畫了這個矩陣。

證明：

我們將? $T(v_{j})$ ??寫成基 C 的一個線性組合，比如寫成

(4.2.7)? ? ? $T(v_j) = w_{1} a_{1j} + ...+ w_{m} a_{mj}$ ? ?，

我們將系數匯編入一個列向量?? $A_{j} = (a_{1j},..,a_{mj})^{t}$ ??，因此，? $T(v_{j}) = \mathsf{C}A_{j}$ ??。若 A 是其列為? $A_{1} ,...,A_{n}$ ?的矩陣，則

(4.2.8) ?? $T(\mathbf{B}) = ( T(v_{1}),..., T(v_{n}) ) = (w_{1} ,... ,w_{n} )\begin{bmatrix} &\cdots& \\ \vdots&A&\vdots \\ &\cdots& \end{bmatrix}=\mathbf{CA}$ ? ?。

正如斷言。接下來，若 v = BX ，則

??????????? T(v) = T(B)X = CAX? 。

因此，T(v) 的坐標向量(其命名為 Y ) 等于 AX? 。

由這兩個基 (3.5.3) 所確定的同構? $F^{n} \rightarrow V$ ??和?? $F^{m} \rightarrow W$ ??有助于解釋 T 和 A 之間的關系。若我們用這些同構將 V 和 W 與? $F^{n}$ ? 和? $F^{m}$ ??關聯起來，則 T 對應于乘以 A ，如下圖所示：

(4.2.9)???????

?沿著兩條路徑從? $F^{n}$ ??到 W 給出相同的答案。具有這種屬性的圖(diagrams)稱為交換圖(commutative)。本書中所有的圖都是可交換的。

因此，一旦選定了有限維向量空間 V 和 W 的基，它們之間的任何線性變換都對應著矩陣乘法。這是一個很好的結果，但如果我們改變基，結果會更好。

定理 4.2.10?

(a) 向量空間的形式：令 T : V ? W ?為一個有限維向量空間之間的線性變換。則分別存在 V 和 W 的基 B 和 C ，使得 T 的矩陣關于這些基具有形式

(4.2.11)?????????

?其中?? $I_{r}$ ??是 r × r ?恒等矩陣，且 r 是 T 的秩。

(b) 矩陣形式：已知一個 m × n 矩陣 A ，則存在可逆矩陣 P 和Q 使得? $A^{'} = Q^{-1} AP$ ??具有上述 (a) 中的形式。

證明：

令?? $(u_{1} ,..., u_{k})$ ??為 T 之核的一個基，我們將此集合擴展至 V 的一個基 B ，首先列出附加的向量，比如? $(v_{1} ,..., v_{r} ;u_{1} ,..., u_{k})$ ??，其中 r + k = n 。令? $w_{i }= T(v_{i})$ ??。則如 (4.1.6) 的證明所示，我們可以看到，? $( w_{1} ,... , w_{r})$ ??是T 的像的一個基。我們將這個集合擴展至 W 的一個基 C ，比如? $( w_{1} ,..., w_{r} ;z_{1} ,..., z_{k})$ ? ?，最后列出附加的向量。則 T 關于這些基的矩陣形如 (4.2.11)。

??? 定理的 (b) 部分可以通過行和列運算來證明。證明見練習 2.4。

這個定理是一系列后續結果的原型。它展示了在向量空間中處理沒有固定基(或坐標)的優勢，因為任意線性變換的結構都可以用一個非常簡單的矩陣 (4.2.11) 來描述。但為什么 (a) 和 (b) 被認為是同一定理的兩個版本呢？為了回答這個問題，我們需要分析當我們選擇其他基時，線性變換矩陣的變化方式。

??? 令 A為T 關于V 和 W 的基B 和 C 的矩陣，如 (4.2.6)中所示，且令? $\mathbf{B}^{'} = (v_1^{' },..., v_n^{'} )$ ??和?? $\mathsf{C}^{'} = (w_1^{'} ,..., w_m^{'} )$ ??分別為V 和 W 的新的基，我們可以通過一個逆 n × n? 矩陣 P 將新的基? $\mathsf{B}^{'}$ ?與舊的基 B 關聯起來，如 (3.5.11)中所示。類似地，通過一個可逆 m × m? 矩陣 Q 將新的基? $\mathsf{C}^{'}$ ?與舊的基 C 關聯起來。這些矩陣具有屬性

(4.2.12)?? $\mathbf{B}^{'} = \mathbf{B}P$ ??， $PX^{'} = X$ ??和? ? $C^{'} = CQ$ ??，? $QY^{' }= Y$ ?。

命題 4.2.13?? 令 A 為關于已知基 B 和 C 的線性變換 T 的矩陣。則：

(a) 假設新的基? $\mathsf{B}^{'}$ ??和? $\mathsf{C}^{'}$ ??通過矩陣 P 和 Q 關聯起來，如上所示。則 T 關于新的基的矩陣是

$A^{'} = Q^{-1}A P$ ??。

(b) 表示T?關于其它基的矩陣? $A^{'}$ ??是那些形如 ? $A^{'} = Q^{-1}A P$ ??的矩陣，其中 Q 和 P 可以是任意合適大小的逆矩陣。

證明：

(a) 將? $X = PX^{' }$ ??和 ?? $Y = QY^{' }$ ??代入公式 Y = AX (4.26) ,得到? $QY^{'} = APX^{' }$ ? ,?因此? $Y^{' }= (Q^{-1}AP )X^{'}$ ???。由于? $A^{'}$ ??是使得? $A^{'} X^{'} = Y^{' }$ ??的矩陣，這明表? $A^{'} = Q^{-1}A P$ ? 。

(b) 部分成立，因為基變換矩陣可以是任何可逆矩陣 (3.5.9)。

從命題可知，該定理的兩部分是等價的。為了從(b)推導出(a)，我們假設已知線性變換T ，并且我們首先任意選擇V?和W?的基，得到矩陣?A 。(b)部分告訴我們，存在可逆矩陣?P?和?Q，使得? $A^{'} = Q^{-1}A P$ ??具有形式(4.2.11)。當我們使用這些矩陣來改變V和W的基時，矩陣?A?變為? $A^{'}$ ?。

為了從 (a) 推導出 (b)，我們將任意矩陣A 視為列向量上“左乘A”的線性變換的矩陣。則?A?是T?關于?? $F_{n}$ ? 和? $F_{m}$ ? ??的標準基的矩陣，且(a) 保證P?和Q?的存在，使得? $A^{'} = Q^{-1}A P$ ??具有形式(4.2.11)。

這里我們還學到了一些關于矩陣乘法的奇妙之處，因為矩陣左乘是一個線性變換。任意矩陣 A 的左乘與形式為 (4.2.11) 的矩陣的左乘相同，只是參考的坐標不同。

??? 以后，我們經常會用兩種等價的方式表述一個結果：向量空間形式和矩陣形式，而無需證明這兩種形式是等價的。然后，我們會給出任何看起來更容易寫出來的證明。

??? 我們可以利用定理 4.2.10 推導出矩陣乘法的另一個有趣性質。設 N 和 U 分別表示變換? $A: F_{n} \rightarrow F_{m}$ ??的零空間和列空間。因此，N 是? $F_{n}$ ??的子空間，U 是? $F_{m}$ ??的子空間。?設 k 和 r 分別表示 N 和 U 的維數。因此，k (nullity)是 A 的零化度，r 是它的秩。

左乘轉置矩陣? $A^{t}$ ??按相反的方向定義了一個變換? $A^{t}:F_{m} \rightarrow F_{n}$ ??，因此? $A^{t}$ ??有兩個(含)以上子空間，零空間? $N_{1}$ ??和列空間? $U_{1}$ ??。在這里?? $U_{1}$ ???是? $F_{n}$ ??的子空間，? $N_{1}$ ??是? $F_{m}$ ??的子空間，令? $k_{1}$ ? 和?? $r_{1}$ ??分別表示?? $N_{1}$ ? 和? $U_{1}$ ??的維數。根據定理 4.1.6 ，我們有 k + r = n 以及 ? $k_{1} + r_{1} = m + n$ ??。下述定理 4.2.14 給出了這些整數之間的更多關系。

定理 4.2.14? 一個矩陣的秩等于其轉置的秩，即，根據上述記法，有 ? $r_{1}=r$ ? 。

證明：

??? 令 P?和?Q 為使得? ? $A^{'} = Q^{-1}A P$ ?具有形式 (4.2.11) 的逆矩陣。首先，我們注意到這個斷言對于矩陣? $A^{'}$ ??是顯然的。接下來，我們驗證下圖中的關系

(4.2.15)?

垂直箭頭是雙射映射。因此，在左圖中，Q 將?? $A^{'}$ ??的列空間 (與??? $A^{'}$ ?相乘的像)雙射到 A 的列空間。這兩個列空間的維度(即 A 和? $A^{'}$ ?的秩)相等。同樣，? $A^{t}$ ? 和? ${A^{'}}^{t}$ ??的秩也相等。因此，為了證明該定理，我們可以用? $A^{'}$ ??代替矩陣 A 。這將證明簡化為矩陣 (4.2.11) 的平凡情況。

我們可以重新解釋轉置矩陣? $A^{t}$ ??的秩? $r_{1}$ ??。根據定義，它是? $A^{t}$ ??的列向量所張成的空間的維數，也可以理解為 A 的行所張成的行向量空間的維數。因此，人們通常指稱? $r_{1}$ ??為 A 的行秩，指稱 r 為 A 的列秩。

行秩是矩陣中獨立行的最大個數，列秩是矩陣中獨立列的最大個數。定理4.2.14可以表述如下：

推論 4.2.16? 一個m × n 矩陣 A 的行秩和列秩是相等的。

4.3? 線性算子(或算符)(Linear operators)

??? 在本節中，我們研究線性變換 T : V ? V，它將一個向量空間到其自射的映射。它們稱為線性算子(或算符)(linear operator)。(用于)左乘的一個具有(定義)域 P 中元素的 n × n 矩陣(方陣)就定義了一個列向量空間?? $F^{n}$ ??上的線性算子。

例如，令??c = cos(θ) , s = sin(θ) 。則旋轉矩陣 (4.2.2)

$\begin{bmatrix} c&-s\\ s&c \end{bmatrix}$

就是一個平面? $\mathbb{R}^{2}$ ??上的線性算子。

維數公式 dim(ker T ) + dim(im T ) = dim(V ) ?對于線性算子仍然有效。但這里，由于定義域(domain)和值域(range)相同，我們獲得了可以與公式結合的額外信息。T 的核和像都是 V 的子空間。

命題 4.3.1? 令 K和 W 分別表示一個線性算子T在一個有限維向量空間V上的核和像。則

(a) 下述條件是等價的：

?? T 是雙射的，

? ?K = {0}，

? ?W = V 。

(b) 下述條件是等價的：

? ?V 是直和 K ? W ，

? ?K ∩ W = {0} ，

? ?K + W = V ?。

證明：

???????? (a) T 是雙射的，當且僅當核 K 為零，則像 W 是整個空間 V。如果核為零，則根據維數公式 W 的 dim = V 的 dim ，因此 W = V。類似地，如果 W = V，則根據維數公式 K 的 dim = 0，因此 K = O。在這兩種情況下，T 都是雙射的。

??? (b) 當且僅當這兩個條件 K ∩ W = {0} 和 K + W = V ?都成立時，V 是直和 K ? W 。若 K ∩ W = {0} = 0 ，則 K 和 W ?是不相關的(相互獨立的)，因此 U = K + W? 是直和 K ? W ，且 dim(U) + dim(K ) = dim(W ) ( 3.6.6 (a)) 。根據維數公式有 dim(U ) = dim(V ) ，因此 U = V ，這表明 V = K ? W 。若 K + W = V ?，則根據維數公式和 (3.6.6) (a)，有 K 和 W ?是不相關的，同樣，V 是直和。

?? 滿足條件 (4.3.1)(a) 的線性算子稱為可逆算子(a invertible operator)。其逆函數也是線性算子。不可逆算子稱為奇異算子(a singular operator)。

當 V 的維數為無窮大時，命題 4.3.1(a) 的條件不等價。例如，令? $V=\mathbb{R}^{\infty}$ ? 為無限維行向量? $(a_{1} , a_{2 },...)$ ??的空間(見 3.7 節)。則右移(right shift)算子? $S^{+}$ ??的核定義為

(4.3.2) ? ?? $S^{+}(a_{1} , a_{2} ,...) = (0, a_{1} , a_{2} ,...)$ ?，

這是一個零空間(zero space)，并且其像是V?的一個真子空間。左移算子? $S^{-1}$ ?的核定義為

$S^{-}(a_{1} , a_{2} ,a_{3} ,...) = (a_{2} ,a_{3} ,... )$ ?,?

其是 V 的一個真子空間，其像是整個V 空間。

當我們處理線性算子時，上一節關于基的討論必須略作修改。我們應該只為 V 選取一個基 B，并用它來代替 (4.2.6) 中的基 B 和 C (譯注：因為線性算子是到其自射的映射)。換言之，為了定義 T 的相對于基 B 的矩陣 A，我們應該寫成

(4.3.3) ?????? T(B) = BA? 且 AX = Y? 如前。

與任何線性變換(4.2.7)一樣，A 的列是基向量的像? $T(v_{j})$ ??的坐標向量：

(4.3.4) ?????? $T(v_{j}) = v_{1} a_{1j} + ... + v_{n} a_{nj }$ ??

(譯注： $T(v_{j})$ ?應改為 T(?v)，即對于線性空間中的任一向量?v ，可以用基向量的坐標向量表示。 )

當且僅當一個線性算子關于任意基的矩陣都是可逆矩陣時，此線性算子可逆。

當談到空間? $F^{m}$ ??上的線性算子的矩陣時，除非指定其他基，否則假設基為標準基 E。然后，該算子就是該基(向量)與該矩陣的乘法。

當我們研究基變換的影響時，就出現了一個新的特征。假設?B?被一個新的基 $\mathsf{B}^{'}$ ?所取代。

命題 4.3.5? 令 A 為一個線性算子 T 針對一個基 B 的矩陣。則

(a) 假設新的基? $\mathbf{B}^{'}$ ?可表示為?? $\mathbf{B}^{'}=\mathbf{B}P$ ??。則 T 針這個基 ? $\mathbf{B}^{'}$ ?的矩陣表示為? $A^{' }= P^{-1}AP$ ? 。

(b)? 表示算子 T 對于不同基的矩陣? $A^{' }$ ?是形如 ? $P^{-1}AP$ ?的矩陣，其中P?可以是任意可逆矩陣。

換言之，矩陣按共軛(conjugation)改變。這是一個令人困惑且難以理解的事實。因此，盡管它遵循 (4.2.13)，但我們將重新推導它。由于? $\mathbf{B}^{'}=\mathbf{B}P$ ??且由于 T(B) = BA ，我們有

$T(\mathbf{B}^{'}) = T(\mathbf{B}P) = \mathbf{B}PA = \mathbf{B}AP$ ??

?(譯注：作者在這里默認矩陣乘法PA 可交換，否則不可這樣寫。)

這樣我們還沒有完成，我們已有的公式根據舊的基?B?表示? $T(\mathbf{B}^{'})$ ??。為了獲得新的矩陣，我們必須根據新的基? $\mathbf{B}^{'}$ ?來記? $T(\mathbf{B}^{'})$ ??。因此我們將?? $\mathbf{B} = \mathbf{B} ^{'} P^{-1}$ ??代入公式 (譯注：根據? $\mathbf{B}^{'} = \mathbf{B}P$ ??，兩則右乘? $P^{-1}$ ??即得到 B )。這樣做就行到? $T(\mathbf{B}^{'}) = \mathbf{B}AP = \mathbf{B}^{'} P^{-1}AP = \mathbf{B}^{'} (P^{-1}AP )$ ??，從而? $A^{'} = P^{-1}AP$ ? 。

通常，若一個方陣 A 與另一個方陣? $A^{'}$ ?對于某個可逆矩陣?P??滿足?? $A^{'} = P^{-1}AP$ ??，則我們此二矩陣是相似矩陣(similar)。這樣的一個方陣? $A^{'}$ ??可基于A 用? $P^{-1}$ ?取共軛而得到。由于 P 可以是任意可逆矩陣，因此? $P^{-1}$ ??也可以是任意可逆矩陣。用“共軛(conjugate)”代替“相似”是合適的。(譯注：此處的所謂共軛是指矩陣 A 左乘?? $P^{-1}$ ??再右乘 P ，或左乘 P 再右乘?? $P^{-1}$ ???，A處于對稱中心，符合共軛對稱的思想。)

現在，如果已知矩陣 A ，很自然地會尋找一個特別簡單的相似矩陣? $A^{'}$ ??。人們希望得到類似定理 4.2.10 的結果。但在這里，我們允許的變化受到更多限制，因為我們只有一個基，因此只有一個矩陣 P 可用。線性變換的定義域和值域相等，乍一看似乎是一種簡化，但實際上卻使事情變得更加困難。

??? 我們可以通過將假設的基變換矩陣寫成基變換矩陣(basechange)的乘積來深入了解這個問題。例如，設?? $P = E_{1} ... E_{r}$ ??。則

$P^{-1}AP = E_{1}^{-1}...E_{r}^{-1} AP E_{1} ... E_{r}$ ? 。

就基本運算而言，我們可以通過一系列步驟?? $A\rightsquigarrow E^{-1}AE$ ??來改變 A (譯注：符號 ? 為右向花體(波浪箭頭)，Unicode為“021DD”，LaTex 語法為 “\rightsquigarrow”)。換言之，我們可以對 A 執行任意列運算 E ，但我們還必須進行與逆矩陣? $E^{-1}$ ???相對應的行運算。遺憾的是，這些行運算和列運算會相互作用，分析它們會變得令人困惑。

4.4? 特征向量(Eigenvectors)

分析線性算子 T : V ? V 的主要工具是不變子空間和特征向量。

?? 對于 V 的一個子空間 W ，若其通過算子將其映射到自身，即

(4.4.1)?????????????? TW ? W?? ，

則稱其為不變子空間(invariant (subspace))，或更確切地稱為 T?不變子空間 。換言之，若只要 w 在 W 中，就有T(w) 也在 W 中，則 W 是不變的。這時，T 在 W 上定義了一個線性算子，稱其為 W 的限制 (restriction)。我們通常將這個限制表示為? $T|_{W}$ ? 。

若 W 是一個 T? 不變子空間，我們可以通過向 W 的一個基?? $( w_{1} , ... , w_{k} )$ ??(譯注：有的書上用? $\{ w_{1} , ..., w_{k} \}$ ??表示一個基，其中? $w_{i}$ ??是基中的線性無關向量)中追加向量以構成 V 的一個基 B ，比如

(4.4.2)??????? $\mathbf{B} = (w_{1} ,... , w_{k}; v_{1} , ... , v_{n-k})$ ? ?。

那么，W 的不變性這一事實反映在 T 的矩陣中。這個矩陣(我們稱之為 M )的列是像向量之坐標向量(參見 (4.3.3))。但? $T(w_{j})$ ??位于子空間 W 中(譯注：應記為 T?(w) )，因此它是基?? $(w_{1} , ... , w_{k})$ ??的線性組合。當我們用基 B 表示? $T(w_{j})$ ??時(譯注：應記為 T(w))，向量? $v_{1} ,... , v_{n-k}$ ??的系數將為零。因此，M 具有分塊形式

(4.4.3)? ? ? ? ?

$\begin{bmatrix} A&B\\ 0&D\end{bmatrix}$ ? ，

其中，A 是 k × k 矩陣，即，T 對 W 的限制矩陣。

???????? 若 V 剛好是兩個 T 不變子空間的直和? $W_{1}\oplus W_{2}$ ??，且若我們追加? $W_{1}$ ? 和?? $W_{2}$ ?的基向量創建 V 的一個基?? $\text{B} = ( \text{B}_{1} , \text{B}_{2} )$ ???，則 T 的矩陣將具有對角塊形式

?(4.4.4)???

$M=\begin{bmatrix} A_{1}&0\\ 0&A_{2}\end{bmatrix}$ ? ,

其中?? $A_{i}$ ? ?是 T 對? $W_{i}$ ??的限制。

特征向量的概念與不變子空間的概念密切相關。

? 一個線性算子 T 的一個特征向量是一個非零向量，其使得對于某個標量 λ ，即對于某個 F 的元素，有

(4.4.5)??? $T(v) = \lambda {v}$ 。

如果一個非零列向量是方陣 A 左乘運算的特征向量，則該非零列向量是方陣 A 的特征向量。

在 (4.4.5) 中出現的標量 λ 稱為與特征向量 v 關聯的特征值(eigenvalue)。當我們提到線性算子 T 或矩陣 A 的特征值時，如果不指定特征向量，我們指的是與某個特征向量關聯的標量 λ 。特征值可以是 F 中的任何元素(包括零)，但特征向量不能為零。特征值通常用希臘字母 λ(lambda)表示，就像這里一樣。(注：德語單詞“eigen”大致指的是英語中的“characteristic”。“Eigenvectors”和“eigenvalues”有時候稱為特征向量(characteristic vectors)(譯注：標量特為特征向量？這種解釋不妥吧，還是分為特征向量和特征值較妥。))

具有特征值 1 的特征向量是一個固定的向量：T(v) =? v 。一個具有特征值0 的特征向量位于零空間中：T(v) = 0 。(譯注：特征值可以為0 ，特征向量不能為零。) 當 ? $V=\mathbb{R}^{n}$ ??時，若一個非零向量 v 和線性變換 T(v) 是相似的(parallel)，則非零向量 v 是一個特征向量。

如果 v 是線性算子 T 的特征向量，其特征值為 λ，則 v 所構成的子空間 W 將是 T 不變的，因為 T(cv) = cλv，且對于所有標量 c，v 都在 W 中。反之，如果 v 所構成的一維子空間是不變的，則 v 是特征向量。因此，特征向量可以描述為一維不變子空間的基。

??? 判斷已知向量 X 是否為矩陣 A 的特征向量很容易。我們只需檢查 AX 是否為 X 的倍數即可。若 A 是 T 關于基 B 的矩陣，X 是向量 v 的坐標向量，則當且僅當 v 是 T 的特征向量時，X 才是 A 的特征向量。

標準基?(列) 向量?? $e_{1}=(1,0)^{t}$ ??是矩陣?

$\begin{bmatrix} 3&1\\ 0&2\end{bmatrix}$

的一個具有特征值 3 的特征向量，(列)向量? $(1,-1)^{t}$ ??是另一個具有特征值 2 的特征向量。(列)向量? $(0,1,-1)^{t}$ ??是矩陣

$A=\begin{bmatrix} 1&1&-1\\ 2&1&1\\ 3&0&2 \end{bmatrix}$ ??

的特征值為 2 的特征向量。

若?? $(v_{1} , ...,v_{n} )$ ??是 V 的一個基，且若? $v_{1}$ ??是一個線生算子 T 的一個特征向量，則 T 的矩陣具有塊形式

(4.4.6)???

其中， λ 是?? $v_{1}$ ??的特征值。這是維度為 1 的不變子空間的塊形式 (4.4.3)。

命題 4.4.7? 相似矩陣? (? $A^{'} = P^{-1}AP$ ? )???具有相同的特征值。

這是成立的，因為相似的矩陣代表相同的線性變換。

命題 4.4.8? ??(a) 令 T 為一個向量空間 V 上的線性算子。則對于 T 關于一個基 ? $\mathbf{B} = ( v_{1} , ... , v_{n} )$ ??的矩陣而言，當且僅當每一個其基向量? $v_{j}$ ??是一個特征向量時，此矩陣是對角化的。

(b) 對于一個 n × n 矩陣 A ，則當且僅當存在? $F^{n}$ ??的一個由特征向量組成的基時，此矩陣與一個對角矩陣相似。

這可從矩陣 A 的定義推出(見(4.3.4))。若 ? $T(v_{j})=\lambda_{j}v_{j}$ ??,? 則

??(4.4.9)???????

$T(\text{B}) = ( v_{1} \lambda_{1} , ... , v_{n} \lambda_{n} ) = ( v_{1} , ... , v_{n} )=\begin{bmatrix}\lambda_{1} &\cdots& \\ \vdots&\ddots&\vdots\\ &\cdots&\lambda_{n} \end{bmatrix}$ ? ?。

該命題表明，只要線性算子具有足夠多的特征向量，我們就可以簡單地用對角矩陣表示它。我們將在 4.5 節中看到，復向量空間中的每一個線性算子至少具有一個特征向量；在 4.6 節中，我們將看到大多數情況下存在一個特征向量基。但是實向量空間中的線性算子不必具有任何特征向量。例如，平面旋轉角度 θ 不會將任何向量傳遞到平行平面，除非 θ 為 0 或 π。旋轉矩陣 (4.2.2) 中 θ ≠O,π) 沒有實數特征向量。

? 具有至少一個實特征值的實矩陣的一般示例是其所有元素均為正的矩陣。這樣的矩陣稱為正矩陣(positive matrices)，在實際應用中很常見，其最重要的性質之一是它們始終具有一個坐標為正的特征向量(即正特征向量)。

??? 我們并不打算證明這一事實，而是通過考慮乘以一個基于?? $\mathbb{R}^{2}$ ??的正 2 × 2 矩陣 A

的效果來說明它。令? $w_{i} = Ae_{i}$ ??為 A 的例。向量加法的平行四邊(parallelogram)形法則表明，A 將第一象限 S 映射到由向量?? $w_{1}$ ? 和? ? $w_{2}$ ??所圍成的扇形域。? $w_{i}$ ??的坐標向量是矩陣 A 的第 i 列。由于矩陣A的項是正的，則向量? $w_{i}$ ??位于第一象限。因此 A 將第一象限映射到其自身：S ?AS 。應用 A 于這個包含中，我們求得? $AS \supset A^{2}S$ ??，如此等等：

(4.4.10)? ? ? ? ? ? ? ? ? $S \supset AS \supset A^{2}S \supset A^{3}S\supset...$ ? ? ,

見如下以矩陣? $A=\begin{bmatrix} 3&2\\ 1&4\\ \end{bmatrix}$ ? ?為例進行的說明。

現在，一個扇區的嵌入集的交集要么是一個扇區，要么是一條半線。在我們的案例中，交集? $Z = \cap A^{r}S$ ??被證明是一條半線。這在直覺上是合理的，可通過各種方式證明，但我們忽略對其證明。我們在關系式?? $Z = \cap A^{r}S$ ??的兩邊乘以 A ：

$AZ=A \bigg (\bigcap_{0}^{\infty}A^{r}S \bigg )=\bigcap_{1}^{\infty}A^{r}S=Z$ ? 。

因此，AZ = Z? 。因此，Z 的非零向量是特征向量。

(4.4.11)??????

-----------------------------第一象限在正矩陣連乘下的像----------------------

4.5? 特征多項式(The characteristic polynomial)

在本節中，我們確定任意線性算子的特征向量。我們記得，線性算子 T 的特征向量是一個非零向量 v，其對于F中的某個 λ ，滿足

(4.5.1)?????????? T(v) = λv? 。

如果不知道λ ，當算子矩陣較復雜時，直接求特征向量會很困難。訣竅在于解決另一個問題，即先確定特征值。一旦確定了特征值λ，公式(4.5.1)在v坐標系下就變為線性的，求解起來也就沒有問題了。我們先將 (4.5.1)寫成形式

(4.5.2)?????????? [λI – T ]( v) = 0 ，

其中，I 表示恒等算子，且 [λI – T ] 是一個線性算子，定義為

(4.5.3)??????? [λI – T ]( v) = λv – T( v) 。

不難驗證 λI – T 確為一個線性算子。我們可以將(4.5.2) 重述為：

(4.5.4) ?? 對于一個非零向量 v ，當且僅當其位于 λI – T 的核中時，其是一個行征向量，且特征值為 λ 。

推論 4.5.5? 令 T 為一個有限維向量空間 V 上的一個線性算子。

(a) T 的特征值是 F 中使得算子 λI – T 呈奇異性(即其零空間是非零的)的標量 λ 。

(b) 下述條件是等價的：

? ?T是奇異算子。

? ?T具有等于零的特征值。

?? 若 A 是 T 關于任意一個基矩陣，則 det(A) = 0 。

(譯注：det(行列式)(determinant 。)

??? 若 A 是 T 關于某一個基的矩陣，則 λI – T 的矩陣是 λI – A? 。因此，當且僅當 det(λI – A) = 0 時，λI – T 是奇異的。這個行列式可以用不確定的A來計算，這樣做至少在原則上為我們提供了一種確定特征值和特征向量的方法。

假設(例如) A?是矩陣? ? $\begin{bmatrix} 3&2\\ 1&4\end{bmatrix}$ ? ?，其在?? $\mathbb{R}^{2}$ ??上的行為如圖 (4.4.11) 所示。則

$\lambda {I}-A = \begin{bmatrix} \lambda-3&-2\\ -1&\lambda-4 \end{bmatrix}$ ??

和

$\det({\lambda}I - A) = \lambda^{2} - 7\lambda + 10 = (\lambda - 5)( \lambda - 2)$ ? ?。

當 λ = 5 或 λ = 2 時此行列式消沒，因此，A 的特征值是 5 或 5 。為了求得特征向量，我們解這兩個方程組 [5I - A]X = 0? 或? [2I - A]X = 0 。其解由標量因子確定：

(4.5.6) ? ? $v_{1}=\begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}$ ? ?，? $v_{2}=\begin{bmatrix} 2\\ -1 \end{bmatrix}$ ? 。

現在我們考慮任意大小的不確定矩陣的相同計算。通常用變量 t 代替符號 λ。我們構造矩陣 tI – A ：

(4.5.7)???

$tI - A = \begin{bmatrix} (t-a_{11})&-a_{12}&\cdots&-a_{1n}\\ -a_{21}&t-a_{22}&\cdots&-a_{2n} \\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots \\ -a_{n1}&\cdots&\cdots&-a_{nn} \\ \end{bmatrix}$ ? ?。

行列式的完全展開式[第 1 章(1.6.4)]表明，det (tI – A) 是 t 中的 n 次多項式，其系數是標量，即 F 的元素。

定義 4.5.8(特征多項式之定義) 一個線性算子 T 的特征多項式是多項式

????????????? p(?t?) = det (tI – A) ，

其中，A是線性算子 T 關于同一個基的矩陣。T 的特征值通過結合 (4.5.5)和(4.5.8)而確定：

推論 4.5.9? 一個線性算子的特征值是其特征多項式的根。

推論 4.5.10? 令 A 為具有對角項? $a_{11} ,..., a_{nn}$ ??的上三角形矩陣或下三角形矩陣。則 A的特征多項式是 ? $(t - a_{11})...(t - a_{nn})$ ? ?。A?的對角線項是其特征值。

證明：

??? 若 A 是上三角矩陣，則 tI – A 也是上三角矩陣，tI – A 的對象項是? $t-a_{ii}$ ??。三角矩陣的行列式是其對象項之積。

命題 4.5.11? 一個線性算子的特征多項式與基的選擇無關。

證明：

??? 第二個項導出了一個矩陣? $A^{'} = P^{-1}AP$ ???(4.3.5) ，且

$tI - A^{'} = tI - P^{-1}AP = P^{-1}(tI - A)P$ ? ??。則

$\det (tI - A^{'}) = \det P^{-1} \det(tI - A) \det(P) = \det(tI - A)$ ? ?。

2 × 2 矩陣?? $A=\begin{bmatrix} a&b\\ c&d\end{bmatrix}$ ??的特征多項式是

(4.5.12)

$p(t) = \det(tI - A) = \det {\begin{bmatrix} t-a&-b\\ -c&t-d\end{bmatrix}}=t^{2}-(\text{trace}\;{A})t+(\det{A})$ ?,

其中，trace A = a + d 。

??? 下一個命題給出了 n × n 矩陣特征多項式的不完全描述，并通過計算得到證明。確定其余系數并不困難，但它們的顯式公式并不常用。

命題 4.5.13? 一個 n × n 矩陣 A 的特征多項式形如

$p(t) = \det(tI - A) = t^{n}-(\text{trace}\;{A})t^{n-1}+(-1)^{n}(\det{A})$ ? ，

其中，trace A (A 的跡) 是其對角項之和：

$\mathbf{trace} \;{A} = a_{11} + a_{22} + ... + a_{nn}$ ? 。

命題 4.5.1 表明，特征多項式的所有系數與基無關。例如，? $\mathbf{trace}{(P^{-1}AP)}=\mathbf{trace}{\;A}$ ? 。

因為特征多項式，矩陣的跡，以及行列式與基無關，它們僅取決于算子T 。因此我們可以定義一個線性算子的相關項特征多項式，跡，和行列式。它們均可以利用 T 關于任意基的矩陣獲得。

命題 4.5.14? 令 T 為一個基于一個有限維向量空間 V 的線性算子。

(a) 若 V具有一個維數 n ，則 T 最多具有 n 個特征向量。

(b) 若 F 是復數域且 V ≠ 0 ，則 T 至少具有一個特征值，從而至少具有一個特征向量。

證明：

(a)? 特征值是特征多項式的根，其具有次數 n 。一個n次多項式至多可以有n個根。這對于在任意域 F 中具有系數的多項式而方都是成立的(參見 (12.2.20))。

(b)? 代數基本定理斷言，每一個具有復系數的正產次數多項式都至少有一個復根，第15章(15.10.1)中存在這個定理的證明。

例如，令? $R_{\theta}$ ??為表示穿過角度 θ 的? $\mathbb{R}^{2}$ ??沿逆時針旋轉的矩陣 (4.2.2) ，其特征多項式?? $p(t) = t^{2} - 2t\cos(\theta) + 1$ ??無實根(假設 θ ≠ 0，π) ，因此沒有實特征值。在此之前我們已經注意到這一點。但由?? $R_{\theta}$ ??所定義的? $\mathbb{C}^{2}$ ??上的算子確實具有復特征值?? $e^{?{\pm}i\theta}$ ? 。

注意：當我們談論一個多項式 p(t)的根或一個矩陣或線性算子的特征特值時，都假設包括多個根的重復(repetitions)，這個術語盡管不是很精確，但卻是很方便的。

推論 4.5.15? 若 ?? $\lambda_{1} ,... , \lambda_{n}$ ??是一個 n × n 復矩陣 A 的特征值，則 det A 是乘積? ? $\lambda_{1} ,... , \lambda_{n}$ ??，而 trace A? 是和? $\lambda_{1} + ... + \lambda_{n}$ ? 。

證明：

??? 令 p(t?) 為 A 的特征多項式。則

$(t - \lambda_{1})...(t - \lambda_{n}) = p(t) = t^{n} - (\mathbf{trace}\; A) t^{n-1} + ... \pm(\det {A})$ ? 。

4.6? 三角形和對角形(Triangular and diagonal forms)

??? 在本節中，我們將證明，基于復向量空間中的“大多數”線性算子，都存在一個基，使得算子的矩陣是對角的。關鍵事實(第 4.5 節末尾未提及)是，每一個正次數的復多項式都有一個根。這意味著每一個線性算子至少都有一個特征向量。

命題 4.6.1

(a) 向量空間形式：令 T 為一個基于一個有限維復向量空間 V 的線性算子。則存在? V的一個基 B ，使得 T 關于這個個基的矩陣是上三角矩陣。

(b) 矩陣形式：每一個復 n×n 矩陣 A 都相似于一個上三角矩陣：存在一個矩陣?? $P\in GL_{n}(\mathbb{C})$ ??使得 ? $P^{-1}AP$ ??成為上三角矩陣。

證明：

?????? 根據 (4.3.5)，以上兩個斷言是等價的。我們將處理這個矩陣。令? $V=\mathbb{C}^{n}$ ??。根據 4.5.14 (b) ，V 包含?A?的一個特征向量，不妨設其為? $v_{1}$ ??。令 λ 為其對應的特征值。我們將(v)擴展為 V 的一個基。則新的矩陣? $A^{'}$ ??具有塊形式

(4.6.2)??

$A^{'} = \left[ \begin{array}{c|c} \lambda & \ast \\ \hline 0 & D \end{array} \right]$ ? ?，

其中，D 是一個 (n - 1)×(n - 1) 矩陣(見 (4.4.6) )。基于 n 做歸納，我們可以假設存在這樣一個矩陣 ?? $Q\in GL_{n-1}(\mathbb{C})$ ??，其使得?? $Q^{-1}AQ$ ??為上三角矩陣，并且這個事實將會被證明。令

$Q_{1} = \left[ \begin{array}{c|c} 1 & 0\\ \hline 0 & Q \end{array} \right]$ ??。則 ?? $A^{''} = Q_{1}^{-1}A^{'}Q=\begin{bmatrix} \lambda&*\\0&Q^{-1}DQ \end{bmatrix}$ ??是上三角矩陣，且?? $A^{''} = (PQ_{1})^{-1}A(PQ_{1})$ ? 。

推論 4.6.3 ?在命題(4.6.1)中用短語“下三角矩陣”替代短語“上三角矩陣”，此命題仍然成立。

??? 下三角矩陣形式可通過按相反的次序列出 (4.6.1)(a)的基 B 的形式得到。

??? 命題 4.6.1 證明的重點在于每個復數多項式都有一個根。同樣的證明適用于任何域 F，只要特征多項式的所有根都在該域中。

推論 4.6.4

(a) 向量空間形式：令 T 為一個基于一個域F上的有限維向量空間 V 的線性算子，且假設T的特征多項式是一個域 F 中的線性因式之積。則存在 V 的一個基 B，使得 T 的(關于這個基的)矩陣是上三角矩陣(或下三角矩陣)。

(b) 矩陣形式：令 A 為一個其項位于域 F 中的 n×n 矩陣，其特征多項式是線性因式之積。則存在一個矩陣?? $P\in GL_{n}(F)$ ? ?使得 ?? $P^{-1}AP$ ??成為上三角(或下三角)矩陣。

證明是相同的，只是為了進行歸納步驟，必須檢查 (4.6.2) 中出現的矩陣 D 的特征多項式是否為 p(t)/( t - λ)，其中 p(t) 是 λ 的特征多項式。然后，特征多項式分解為線性因式的假設從 A 延續到 D 。

??? 我們現在要問，哪些矩陣 A 與對角矩陣相似？它們稱為可對角化矩陣。正如我們在 (4.4.8) (b) 中看到的那樣，它們是以特征向量為基的矩陣。類似地，以特征向量為基的線性算子稱為可對角化算子。對角線元素(它們的順序除外)由線性算子 T 決定。它們是特征值。

??? 下面的定理 4.6.6 對我們的問題給出了部分答案；下一節將給出更完整的答案。

定理 4.6.5 ??令?? $v_{1} , ..., v_{r }$ ??為一個線性算子T 的具有不同特值?? $\lambda_{1} , ..., \lambda_{r }$ ??的(r?個) 特征向量。則集合? $(v_{1} , ..., v_{r })$ ??中的向量是線性無關的。

證明：

??? 我們基于 r 做歸納證明。當 r = 1 時這個斷言是成立的，因為一個特征向量不能為零。假設一個依賴關系

$0 = a_{1} v_{1} + ... + a_{r }v_{r}$ ??

是已知的。我們必須證明對于所有的 i 有? $a_{i}=0$ ???。我們應用線性算子 T ：

$0 = T(0) = a_{1}T(v_{1}) + ... + a_{r}T(v_{r}) = a_{1} \lambda_{1}v_{1} + ... + a_{r} \lambda_{r} v_{r}$ ? 。

這是?? $(v_{1} , ..., v_{r })$ ??之間的第二個依賴關系。我們從這兩個關系消除?? $a_{r}$ ?，用?? $\lambda_{r}$ ??乘以第一個關系并減去第二個關系，得到：

$0 = a_{1}(\lambda_{r} - \lambda_{1})v_{1} + ... + a_{r-1}(\lambda_{r} - \lambda_{r-1})v_{r-1}$ ? ?。

應用遞歸，我們可以假設?? $(v_{1} , ..., v_{r-1 })$ ??是一個線性無關集。這表明系數?? $a_{i}(\lambda_r - \lambda_{i})(i < r)$ ??均為零。由于?? $\lambda_{i}$ ??之間是不同的，則若 i < r 則?? $\lambda_{r}-\lambda_{i}$ ??不為零。因此，? $a_{1} = ... = a_{r-1} = 0$ ??。則原關系式將簡化為?? $0 = a_{r} v_{r}$ ??。因為一個特征向量是不能為零的，因此? $a_{r}$ ??必須為零。

結合 (4.4.8) 和 (4.6.5) 得到下一個定理：

定理 4.6.6 ??令 T 為一個基于一個域 F 上的 n 維向量空間 V?的線性算子。若其特征多項式在 F 中有 n 個不同的根，則存在一個 V 的基，使得 T 關于這個基的矩陣呈對角化。

注意：對象化是一個強大的工具。當遇到可對角化的算子時，應該會自動地運用特征向量的基。

??? 作為對角化的一個例子，我們考慮實矩陣

(4.6.7) ? ???? $A=\begin{bmatrix} 3&2\\ 1&4\end{bmatrix}$ ? ?。

其特征向量計算見 (4.5.6)。這些特征向量構成了?? $\mathbb{R}^{2}$ ??的一個基? $\mathbf{B}=(v_{1},v_{2})$ ??。根據 (3.5.13) ，將標準基 E 與基 B 關聯起來的矩陣是

(4.6.8)??? $P=[\mathbf{B}]=\begin{bmatrix} 1&2\\ 1&-1\end{bmatrix}$ ?， $P^{-1}=\frac{1}{3}\begin{bmatrix} 1&2\\ 1&-1\end{bmatrix}$ ?且

(4.6.9)??? $P^{-1}AP=\frac{1}{3}\begin{bmatrix} 1&2\\ 1&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3&2\\ 1&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&2\\ 1&-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 5&\\&2\end{bmatrix}=A$ ? 。

下一個命題是命題 4.4.8 的變體。我們忽略其證明。

命題 4.6.10? 令 F 為一個域。

(a)? 令 T 為? $F^{n}$ ??上的一個線性算子。若 ? $B = (v_{1} ,...,v_{n} )$ ??是T?的一個特征向量的基，且若 P = [B] , 則? $\Lambda= P^{-1} AP = [B]^{-1} A[B]$ ??呈對角化。

(b)? 令 ? $\mathbf{B} = (v_{1} ,...,v_{n} )$ ??為? $F^{n}$ ??的一個基，并令 Λ 為具有對象項 ? $\lambda_1 , ... , \lambda_r$ ??(不必不同)的一個對角矩陣。則存在一個唯一的矩陣 A ，使得對于 i = 1, … ,n ?，? $v_{i}$ ??都是 A 的一個具有特征值? $\lambda_{i}$ ??的特征向量，即矩陣 $[\mathbf{B}]A [\mathbf{B}]^{-1}$ ? 。

記公式??? $[\mathbf{B}]A [\mathbf{B}]^{-1}=\Lambda$ ? ?的一個好方式是

(4.6.11) ????? $A[\mathbf{B}]=\mathbf{B}\Lambda$ ? 。

定理 4.6.6 的一個應用是計算可對角化矩陣的冪。需要指出的是，只要展開公式的左邊并消去? $PP^{-1}$ ??即很容易得到下一個引理。

引理 4.6.12? 令 A , B 和 P 分別為 n?×?n 矩陣。若 P 是可逆的，則 ? $(P^{-1}AP ) (P^{-1}BP ) = (P^{-1}(AB)P )$ ? ?，且對于所有 k ≥ 1 ,有?? $(P^{-1}AP )^{k}=(P^{-1}A^{k}P )$ ? 。

因此，若 A , P ，和 Λ 如 (4.6.9) 中所示，則

$A^{k}=P\Lambda P^{-1}=\frac{1}{3}\begin{bmatrix} 1&2\\ 1&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 5&\\&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&2\\ 1&-1\end{bmatrix}=\\\\\\\\ \frac{1}{3}\begin{bmatrix} 5^{k}+2^{k+1}&2.5^{k}-5^{k+1}\\5^{k}-2^{k}&2.5^{k}+2^{k}\end{bmatrix}$ 。

若?? $f (t) = a_{0} + a_{0}t +...+ a_{n} t^{n}$ ??是一個以 t 為變量的其系數位于域?F?中的多項式(函數)，則 f (A) 表示在形式上用?A?代入 t??所得到的矩陣。即

(4.6.13) ? ?? $f (A) = a_{0}I + a_{1}A + ... + a_{n} A^{n}$ ? 。

常量項? $a_{0}$ ? 用?? $a_{0}I$ ?代替。則若 ? $A = P\Lambda P^{-1}$ ??，有

(4.6.14) ? ? $f (A) = f (P{\Lambda}P^{-1}) = a_{0}I + a_1 P{\Lambda}P^{-1} + ... + a_{n} P{\Lambda}^{n} P^{-1} = Pf ({\Lambda})P^{-1}$ ? 。

類似的符號也可用于線性算子：如果 T 是一個基于一個域 F 上的向量空間 V 的一個線性算子，則 V 上的線性算子 f (T )定義為

(4.6.15) ?? $f (T) = a_{0}I + a_{1}T + ... + a_{n} T^{n}$ ? ，

其中， I??表示恒等算子，算子?f (T ) 作用于向量上則表示為?? $f (T)v = a_{0}Iv + a_{1}Tv + ... + a_{n} T^{n}v$ ??。(為了避免使用太多的括號，我們忽略了一些括號，記 T(v) 為 Tv 。)

4.7? Jordan形式(Jordan form)

??? 假設已知一個有限維復向量空間 V 上的一個線性算子 T 。我們已經知道，如果其特征多項式的根不同，則存在一個特征向量基，并且 T 關于該基的矩陣是對角矩陣。這里我們想問，如果不假設特征值不同，可以做什么。當特征多項式有多個根時，通常不會有特征向量基，但我們將會看到，盡管如此，矩陣仍然可以變得相當簡單。

??? 一個線性算子 T 的具有特征值為 λ 的特征向量是一個非零向量 v，其滿足 (T – λ )v = O 。( 這里我們將 T – λI 記為 T – λ 。) 由于算子 T 可能沒有足夠的特征向量，因此我們使用廣義特征向量。

?? 一個線性算子 T 的具有特征值為 λ 的廣義特征向量是一個非零向量 x ，其使得對于某個 k > 0 有? $(T-\lambda)^{k}x=0$ ??。其指數是使得 ? $(T-\lambda)^{d}x=0$ ??的最小的整數 d 。

命題 4.7.1? 令 x 為 T 的廣義特征向量，其特征值為 λ 且指數為 d ，對于 j ≥ 0 , 令? $u_{j} = (T-\lambda)^{j} x$ ? ?。令?? $\mathbf{B} = ( u_{0} ,..., u_{d-1} )$ ??,? 并令 ?X = Span B? 。則 X 是一個T不變子空間，且 B 是 X 的一個基。

我們在證明中用到了下述引理。

引理 4.7.2 ?? $u_{j}$ ??如上所述，一個線性組合 ? $y = c_{j}u_{j} + ... + c_{d-1} u_{d-1}$ ??( j ≤ d – 1 ， $c_{j} \neq 0$ ?) 是一個廣義特征向量，其特征值為 λ 且指數為 d – j ?。

證明：

??? 由于 x 的指數是 d ， $(T-\lambda)^{d-1}x=0=u_{d-1} \neq 0$ ??。因此??? $(T-\lambda)^{d-j-1}y=c_{j}u_{d-1}$ ??不為零。但?? $(T-\lambda)^{d-1}y=0$ ??。因此，y 是一個廣義特征向量，且特征值為 λ 且指數為 d– j ，正如斷言所述。

命題 4.7.1 之證明：

??? 我們注意到，

(4.7.3)?? ? $\left \{ \begin{array}{lrc} \lambda u_{j}+u_{j+1}\quad(\text{if} \quad j < d-1) \\ \\ \lambda u_{j} \quad (\text{if} \quad j = d-1) \\ \\ 0\quad(\text{if} \quad j > d-1) \end{array} \right.$

因此，對于所有的 j ， $Tu_{j}$ ??都位于 X 的子空間中。這表明 X是不變量。接下來，根據定義，B 生成 X 。引理表明，B 的每一個非平凡線性組合都是廣義特征向量，因此它不為零。因此，B 是一個獨立集(譯注：線性無關集)。

推論 4.7.4? 令 x 為 T 的廣義特征向量，特征值為 λ 。則 λ 是一個普通特征值——T 的特征多項式之根。

證明：

若??x 的指數是?d ，則按照如上記法， $u_{d-1}$ ?就是一個具有特征值 λ 的特征向量。

??? 公式 4.7.3 確定了描述 T 在命題 4.7.1 的基 B 上的行為的矩陣。它是一個 d × d? Jordan 塊矩陣 $J_{\lambda}$ ? 。較低 d 值的 Jordan 塊矩陣如下所示：

(4.7.5)???????????? $J_{\lambda}=[\lambda]$ ? ,?? $\begin{bmatrix} \lambda&\\1&\lambda\end{bmatrix}$ ? ?,?? $\begin{bmatrix} \lambda&\\ 1&\lambda& \\ &1&\lambda \end{bmatrix}$ ? ， $\begin{bmatrix} \lambda&\\ 1&\lambda& \\ &1&\lambda \\ &&1&\lambda \end{bmatrix}$ ?，....

當 λ = 0 , Jordan 塊的運算相當簡單。基于? $\mathbb{C}^{d}$ ??的一個標準確的 d × d 塊? $J_{0}$ ??的計算為

(4.7.6)??? $e_{1} \rightsquigarrow e_{2} \rightsquigarrow ...\rightsquigarrow e_{d }\rightsquigarrow 0$ ? ?。

1 × 1 塊Jordan 塊? $J_{0}$ ???是零。

下面的 Jordan 分解定理斷言，任何復 n × n 矩陣都類似于由對角 Jordan 塊(4.7.5) 組成的矩陣 J ——它具有 Jordan 形式

(4.7.7)? ? ? ? ? $J=\begin{bmatrix} J_{1}&\\ &J_{1}& \\ &&\ddots \\ &&&J_{\ell} \end{bmatrix}$ ? ?,

其中，對于某個? $\lambda_{i }$ ??，有? ? $J_{i }=J_{\lambda_{i }}$ ??。塊?? $J_{i }$ ??具有各種大小? $d_{i}(\sum{d_{i}}=n)$ ? ，且對角項? $\lambda_{i}$ ??不必相異。矩陣 J 的特征多項式是

(4.7.8)??????? $p(t) = (t-\lambda_{1})^{d_{1}}(t-\lambda_2)^{d_{2}} ... (t-\lambda_\ell)^{d_{l}}$ ? ?。

2 × 2 和 3 × 3 的 Jordan 形式是

(4.7.9)? ? ? ?? $\begin{bmatrix} \lambda_{1}&\\0&\lambda_{2}\end{bmatrix}$ ? ， $\begin{bmatrix} \lambda_{1}&\\1&\lambda_{2}\end{bmatrix}$ ? ,? $\begin{bmatrix} \lambda_{2}&\\ &\lambda_{2}& \\ &&\lambda_{2} \end{bmatrix}$ ? ， $\begin{bmatrix} \lambda_{2}&\\ 1&\lambda_{2}& \\ &&\lambda_{2} \end{bmatrix}$ ? ， $\begin{bmatrix} \lambda_{2}&\\ 1&\lambda_{2}& \\ &1&\lambda_{2} \end{bmatrix}$ ? 。

其中，標量?? $\lambda_{i }$ ??可以相等或不等，在第四個矩陣中，塊可以按其它順序列出。

定理 4.7.10? Jordan 分解定理。

(a) 向量空間形式：設 T 是一個有限維復向量空間 V 上的一個線性算子。則存在V的一個基 B ，使得 T 關于 B 的矩陣具有 Jordan形式 (4.7.7)。

(b) 矩陣形式：令 A 為一個 n × n 復矩陣。則存在一個可逆復矩陣 P ，使得? $P^{-1}AP$ ??具有 Jordan形式。

同樣，算子 T 或矩陣 A 的 Jordan 形式除了塊的順序外也是唯一的。

證明：

這個證明是Filippov提出的。我們基于對 V 的維數進行歸納證明，假設該定理對于 T任意真不變子空間的限制成立。因此，如果 V 是真 T 不變子空間的直和，比如? $V_{1}\oplus... \oplus V_{r} (r > 1)$ ??，則對 T 而言這個定理是成立的。

假設我們已經推廣了?? $v_{i}$ ??(對于 i = 1 ,… ,r )。令 $V_{i}$ ?為按命題 4.7.1 定義的子空間，且? $x=v_{i}$ ???。若 V 是直和? $V_{1}\oplus... \oplus V_{r}$ ??，則定理對于 V 成立，且我們稱? $v_{1} ,...,v_{r}$ ??是 T 的 Jordan 生成元(Jordan generators)。我們將證明存在一組 Jordan 生成元。

第1步：

我們選取 T 的一個特征值 λ，并將算子 T 替換為 T - λI。如果 A 是 T 關于某個基的矩陣，則 T - λI 關于同一基的矩陣將是 A - λI；如果 λ 或 A - λI 中的一個矩陣是Jordan式，則另一個也是Jordan式。因此，用 T — λI 替換 T 是可以的。這樣做之后，我們的算子(我們仍稱之為 T )的特征值將為零。這將簡化符號。

第2步：

我們假設 0 是 T 的一個特征值。令? $K_{i}$ ? 和? ? $U_{i}$ ??分別表示第 i 個冪? $T_{i}$ ??的核和像。則?? $K_{1} \subset K_{2} \subset ...$ ? ?和?? $U_{1} \supset U_{2} \supset ...$ ??。因為 V 是有限維的，則對于大的 r ，這些子空間鏈變得固定，比如? $K_{m} = K_{m+1} = ...$ ??和?? $U_{m} = U_{m+1} = ...$ ??。令? $K = K_{m}$ ? 和?? $U =U_{m}$ ?。我們驗證 K 和 U 是不變子空間，且 V 是直和 K?? U 。

這個子空間是不變的，因為? ? $TK_{m} \subset K_{m-1}\subset K_{m}$ ??且?? $TU_{m} = U_{m-1} = U_{m }$ ??。為了證明 V = K??U ，只需證明 K?∩U = { 0 } 即可(見命題 (4.3.1)(b))。令 z 為 K?∩U 的一個元素。則? $T^{m}z=0$ ????,? 同樣對于 V 中的某個 v 有?? $T^{m}v=0$ ??有? $z=T^{m}v$ ??。從而?? $T^{2m}v=0$ ??，因此 v 是? $K_{2m}$ ?的一個元素。但?? $K_{2m} = K_{m}$ ??，因此? ??? $T^{m}v=0$ ???，即 z =?0 。

由于 T 的特征值是 0，K 不是零子空間。因此 U 的維數小于 V ，根據我們的歸納假設，該定理對? $T|_{K}$ ??成立。遺憾的是，我們不能將這個推理應用于 K，因為 U 可能為零。所以我們仍然必須證明? $T|_{K}$ ??存在 Jordan 形式。我們將 V 替換為 K，將 T 替換為?? $T|_{K}$ ? 。

? 對于一個基于一個向量空間 V 的線性算子 T , 若對于某個正整數 r ，算子? $T^{r}$ ??為零，則稱其為冪零算子(nilpotent operator)。

我們已經將證明簡化為冪零算子的情況。

第3步：

??? 我們假設算子 T 是冪零的。每一個非零向量都是一個特征值為 0 的廣義特征向量。令 N 和 W 分別表示 T 的核和像。由于 T 是冪零的，所以 N ≠ {O}。因此 W 的維數小于 V 的維數，根據歸納法，該定理對于W 的算子限制情況成立。因此，存在?? $T|_{W}$ ??的Jordan 生成元?? $w_{1},...,w_{r }$ ??。令? $e_{i}$ ??表示? $w_{i}$ ??的指數，且令?? $W_{i}$ ??表示如命題 4.7.1 中那樣使用廣義特征向量?? $w_{i}$ ??所構成的子空間。因此? $W = W_{1}\oplus... \oplus W_{r}$ ? 。

對于每一個 i ，我們選擇 V 的一個元素? $v_{i}$ ??，使得?? $Tv_{i}=w_{i}$ ??。則? $v_{i}$ ??的指數? $d_{i}$ ??將等于? $e_{i}+1$ ?。令? $V_{i}$ ??表示如命題 4.7.1 中那樣使用廣義特征向量? $v_{i}$ ??所構成的子空間。則?? $TV_{i}=V_{i}$ ??。令 U 表示和? $V_{1} + ... + V_{r}$ ??。由于每一個? ? $V_{i}$ ??都是一個不變子空間?，因此 U 也是一個不變子空間。現在我們驗證?? $v_{1} ,...,v_{r}$ ??是約束?? $T|_{U}$ ??的 Jordan 生成元。即子空間? $V_{i}$ ??的向量是線性無關的。

我們注意到兩件事：首先，TU = W ，因為? $TV_{i} = W_{i}$ ??。第二，? $V_{i}\cap N \subset W_{i}$ ??。這可從引理 4.7.2 推導出，這表明? $V_{i}\cap N$ ???是最后一個基向量?? $T^{d_{i-1}}v_{i}$ ??的張成(span)。因為? ? $d_{i-1} = e_{i}$ ??是正的，因此??? $T^{d_{i-1}}v_{i}$ ? 在像? $W_{i}$ ?中。?

我們假設已知一個關系? $\widetilde{v}_{1}+...+\widetilde{v}_{r}=0$ ??且? $\widetilde{v}_{i}$ ??位于? $V_{i}$ ??中。我們必須證明?? $\widetilde{v}_{i}=0$ ??(對于所有的 i )。令? $\widetilde{w}_{i}=T\widetilde{v}_{i}=0$ ??。則? $\widetilde{w}_{1}+...+\widetilde{w}_{r}=0$ ??且?? $\widetilde{w}_{i}$ ??位于? $W_{i}$ ??中。因此子空間?? $W_{i}$ ????是線性無關的，因此對于所有 i 有? $\widetilde{w}_{i}=0$ ??。從而??? $T\widetilde{v}_{i}=0$ ???, 這意味著? $\widetilde{v}_{i}$ ??位于? $V_{i}\cap N$ ??中。因此? $\widetilde{v}_{i}$ ??位于?? $W_{i}$ ??中。再次利用子空間?? $W_{i}$ ??是線性無關的事實，我們推斷出對于所有 i 有? $\widetilde{v}_{i}=0$ ? 。

第4步：

??? 我們證明，為了獲得 T 的一組生成元，我們可以將 N 的某些元素加入到? $T|_{U}$ ??的Jordan 生成元集? $\{ v_{1} ,...,v_{r} \}$ ??中。

令 v 為 V 的任意一個元素，并令 Tv = w 。由于 TU? = W ，則在 U 中存在一個向量 u ，使得 Tu = w = Tv ?。則 z = v – u 位于 N 中，且 v = u + z 。因此，U + N = V 。既然如此，我們通過增加元素的方式(比如，加入 N 的元素? $z_{1} ,.... , z_{\ell}$ ??) 將 U 的一個基擴展至 V 的一個基(見命題 3.4.16(a))。令? $N^{'}$ ? ?為?? $\{z_{1} ,.... , z_{\ell}\}$ ??的一個張成。則?? $U\cap N^{'}=\{0\}$ ???且? $U+N^{'}=V$ ???，因此，V 是直和? $U \oplus N^{'}$ ? 。

算子 T 在? $N^{'}$ ??上是零。因此，? $N^{'}$ ??是一個不變子空間，且? $T|_{N^{'}}$ ??的矩陣是零矩陣，其具有 Jordan 形式。其 Jordan 塊是 1 × 1 零矩陣。從而? $\{ v_{1} ,... ,v_{r} ; z_{1} ,.. , z_{\ell} \}$ ??是一組 T 的 Jordan 生成元。

只要已知特征值，且分析能證明形式的唯一性，確定算子 T 的若爾當形式并不困難。然而，求得 V 的合適基可能很費勁，最好避免。

???????? 為了確定 Jordan 形，我們選擇一個特征值 λ ，并用 T — λI 替換 T ，從而將問題簡化為 λ = 0 的這種情況。令? $K_{i}$ ??表示? $T_{i}$ ??的核，并令? $k_{i}$ ??為?? $K_{i}$ ??的維數。在具有 λ = 0 的單個 d × d ?Jordan 塊的情況下，這些維數是：

$k_{i}^{block}=\left \{ \begin{array}{rlc}i\quad (\text{if} \; i \leq d) \\ \\ d\quad (\text{if} \; i \geq d) \end{array} \right .$ ? ?。

一個一般算子 T 的維數? ? $k_{i}$ ? ?可通過向 λ = 0 的每一個塊加入數 ? $k_{i}^{block}$ ?而得到。因此，? $k_{1}$ ??將是具有 λ = 0 的塊的數量，? $k_{2}-k_{1}$ ??將是具有 λ = 0 的大小為 d ≥ 0 的塊的數量，如此等等。

兩個簡單的例子：

$A=\begin{bmatrix} 0&1&0\\ 1&0&1\\0 &-1&0 \end{bmatrix}$ ? ?和?? $B =\begin{bmatrix} 1&-1&1\\ 2&-2&2\\-1&1&-1 \end{bmatrix}$ ? 。

這里， $A^{3}=0$ ??，但? $A^{2}\neq 0$ ??。若 v 是一個使得? $A^{2}v\neq 0$ ??的向量，比如說? $v=e_{1}$ ??，則?? $( v ,Tv , T^{2}v )$ ??是一個基，這個 Jordan 形由一個單 3 × 3 塊構成。

在另一方面，? $B^{2}=0$ ??。再次取?? $v=e_{1}$ ??，則集合 (v , Tv ) 是線性無關的，這就給出了一個 ?2 × 2 塊。為了獲得 Jordan 形，我們必須在 N 中加入一個向量，例如，? $v^{'} = e_{2} + e_{3}$ ???，這就給出 1 × 1 塊(等于零) 。這是所求的基?? $(v , Tv , v^{'} )$ ??。

將 Jordan 形式寫為 J = D + N 通常很有用，其中 D 是矩陣的對角線部分，N 是對角線下方的部分。對于單個 Jordan 塊，我們將有 D = λI 和? $N=J_{0}$ ??，如下圖 3 × 3 塊所示：

$J_{\lambda}=\begin{bmatrix} \lambda&\\ 1&\lambda& \\ &1&\lambda \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \lambda&\\ 0&\lambda& \\ &0&\lambda \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0&\\ 1&0& \\ &1&0 \end{bmatrix}=\lambda{I}+J_{0}=D+N$ ? 。

記為 J = D + N 很方便，因為 D 與 N 可交換。J 的冪可以通過二項式展開式計算：

(4.7.11)??????

$J^{r} = (D + N)^{r} = D^{r} +\begin{pmatrix}r\\1\end{pmatrix}D^{r-1}N+\begin{pmatrix}r\\2\end{pmatrix}D^{r-2}N^{2}+...$ ? ,

當 J 是一個 n × n ?矩陣時，? $N^{r}=0$ ? ?，這個展式具有至少 n 項。在一個單塊的情況下，此公式讀為

(4.7.12)? ?? $J^{r} = (\lambda{I} + J_{0})^{r} = {\lambda}^{r}{I} +\begin{pmatrix}r\\1\end{pmatrix}{\lambda}^{r-1}J_{0}+\begin{pmatrix}r\\2\end{pmatrix}{\lambda}^{r-2}{J_{0}}^{2}+...$ ? ,

推論 4.7.13 設 T 是一個有限維復向量空間上的一個線性算子。則以下條件是等價的：

(a) T 是可對角化的算子；

(b) 每一個廣義特征向量都是特征向量；

證明：

??? (a) ? (b)：假設 T 是可對角化算子，比如,?T 關于基?? $\mathbf{B}= (v_{1} ,...,v_{n})$ ?的矩陣是具有對角項? ${\lambda}_1 ,... , {\lambda}_{n}$ ??? ?的對角矩陣 Λ 。令 v 為 V 中的一個廣義特征向量，比如，對于某個 λ 和某個 k > 0 ，? $(T-\lambda)^{k}v = 0$ ??。我們用 T – λ 來代替 T? 并簡化為? $T^{r}v = 0$ ??這種情況。令? $X = (x_{1} ,... ,x_{n} )^{t}$ ? ?為 v 的坐標向量。則? $T^{k}v$ ??的坐標將是?? $\lambda_{i}^{k} x_{i}$ ??。由于?? $T^{k}v = 0$ ??，則? $\lambda_{i}=0$ ??或?? $x_{i} = 0$ ??，且在任一情況下，都有? $\lambda_{i}^{k} x_{i} = 0$ ??。從而 Tv = 0 。

(b) ? (c): 我們證明逆否命題。如果 T 的 Jordan 形式有一個 k × k ?Jordan 塊，其中k > 1，那么回顧? $J_{\lambda} -{\lambda} I$ ??的作用 (4.7.6)，我們發現存在一個廣義特征向量，它不是特征向量。因此，如果 (c) 為假，則 (b) 也為假。最后，顯然 (c) ? (a)。

??? 以下是 Jordan 形式的一個很好的應用。

定理4.7.14 設T?是一個有限維復向量空間V上的一個線性算子，如果T的某個正冪是恒等式，比如 ? $T^{t}=I$ ??，則T 是可對角化的。

證明：

只需證明每一個廣義特征向量都是一個特征向量即可。為此，我們假設? $(T- {\lambda}I )^{2}v = 0$ ??且 v ≠ 0，并證明 (T - λ)v = 0。由于 λ 是特征值，且? $T^{r}=I$ ??，因此? ${\lambda}^{r}=1$ ??。我們將多項式? $t^{r}-1$ ?除以 t - λ：

$t^{r} - 1 = (t^{r-1} + {\lambda}t^{r-2} + ... + {\lambda}^{r-2}t + {\lambda}^{r-1})(t - {\lambda})$ ? ?。

我們將 t 替換為 T 并應用算子于 v 。令 w = (t - λ)v? 。由于??? $T^{r}-I = 0$ ???,

$\begin{array}{rlc} 0 &= (T^{r} - I)v = (T^{r-1} + {\lambda}T^{r-2} + ... + {\lambda}^{r-2} T + {\lambda}^{r-1})( T - {\lambda})v \\\\ &= (T^{r-1} + {\lambda}T^{r-2} + ... + {\lambda}^{r-2} T + {\lambda}^{r-1})w \\\\ &= r{\lambda}^{r-1}w \end{array}$ ? 。