【三維重建】【3DGS系列】【深度學習】3DGS的理論基礎知識之如何形成高斯橢球

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前言

在詳細解析3DGS代碼之前，首要任務是成功運行3DGS代碼【理論基礎及代碼運行(win11下)解析參考教程】，后續學習才有意義。本博客講解3DGS中如何形成高斯橢球，不涉及具體的模塊代碼。

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參考：3D高斯的理論理解
參考：3d gaussian splatting全解 捏雪球

高斯函數

一維高斯

標準一維高斯函數：
$$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma }}{e}^{?\frac{x^2}{2}}$$

其中的$\sigma$表示高斯函數的方差， $\mu$表示高斯函數的均值；標準高斯函數的方差$\sigma$為1，均值$\mu$為0，概率密度之和為1。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 定義高斯函數
def gaussian(x, mean=0, std=1):return (1 / (std * np.sqrt(2 * np.pi))) * np.exp(-((x - mean) ** 2) / (2 * std ** 2))# 生成x軸數據
x = np.linspace(-4, 4, 500)# 均值和標準差
mean = 0  # 均值 μ
std = 1   # 標準差 σ# 計算對應y值
y = gaussian(x, mean, std)
# 繪制圖形
plt.plot(x, y, label='Standard Gaussian')# 在均值處標注峰值點
peak_y = gaussian(mean)
plt.plot(0, peak_y, 'ro')   # 紅色圓圈標記
plt.text(0+0.1, peak_y, 'Peak', fontsize=9)# 標注均值、±1σ, ±2σ, ±3σ的位置
plt.axvline(x=mean, color='g', linestyle='--', label='Mean')
plt.axvline(x=mean - std, color='y', linestyle='--', label='-1 STD')
plt.axvline(x=mean + std, color='y', linestyle='--')# 添加圖例
plt.legend()# 圖像標題與坐標軸標簽
plt.title('Standard Univariate Gaussian Function')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('Probability Density')
plt.grid(True)# 保存圖像(文件名中包含均值和標準差)
filename = f'standard_gaussian_distribution.jpg'
plt.savefig(filename, dpi=300, bbox_inches='tight')
# 顯示圖像
plt.show()

不限制均值和方差，一維高斯函數：
$$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma }}{e}^{?\frac{{\left(x?\mu \right)}^2}{2{\sigma }^2}}$$

在數學上的意義為將標準高斯函數向右平移 $\mu$個單位，函數寬度延展了$\sigma$倍，分別決定了分布的位置和寬度，同時為了保證概率密度函數積分為1，$f\left(x\right)$ 的高度會下降，因為系數$\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma }}$。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# 定義高斯函數
def gaussian(x, mean=0, std=1):return (1 / (std * np.sqrt(2 * np.pi))) * np.exp(-((x - mean) ** 2) / (2 * std ** 2))# 均值和標準差
mean = 1.5  # 均值 μ
std = 5   # 標準差 σ# 生成x軸數據（根據均值和標準差適當調整范圍）
x = np.linspace(mean - 4*std, mean + 4*std, 500)# 計算對應y值
y = gaussian(x, mean, std)
# 繪制圖形
plt.plot(x, y, label=f'Gaussian({mean},{std}$^2$)')# 在均值處標注峰值點
peak_y = gaussian(mean)
plt.plot(mean, peak_y, 'ro')  # 紅色圓圈標記
plt.text(mean + 0.05, peak_y, 'Peak', fontsize=9)# 標注均值、±1σ, ±2σ, ±3σ的位置
plt.axvline(x=mean, color='g', linestyle='--', label='Mean')
plt.axvline(x=mean - std, color='y', linestyle='--', label='-1 STD')
plt.axvline(x=mean + std, color='y', linestyle='--')
plt.axvline(x=mean - 2*std, color='b', linestyle='--', label='-2 STD')
plt.axvline(x=mean + 2*std, color='b', linestyle='--')
plt.axvline(x=mean - 3*std, color='m', linestyle='--', label='-3 STD')
plt.axvline(x=mean + 3*std, color='m', linestyle='--')# 添加圖例
plt.legend()# 圖像標題與坐標軸標簽
plt.title('Univariate Gaussian Function')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('Probability Density')
plt.grid(True)# 保存圖像(文件名中包含均值和標準差)
filename = f'gaussian_mu{mean}_sigma{std}.jpg'
plt.savefig(filename, dpi=300, bbox_inches='tight')
# 顯示圖像
plt.show()

多維高斯

1.$n$個服從正態分布且互不相關的獨立變量$x={\left[x_1,x_2,...,x_n\right]}^T$，其均值為$\mu \left(x\right)={\left[{\mu }_1,{\mu }_2,...,{\mu }_n\right]}^T$，方差為$\sigma \left(x\right)={\left[{\sigma }_1,{\sigma }_2,...,{\sigma }_n\right]}^T$，根據概率論中的概率密度公式有：
$$f\left(x\right)=p\left(x_1,x_2,...,x_n\right)=p\left(x_1\right)p\left(x_2\right)...p\left(x_n\right)=\frac{1}{{\left(\sqrt{2\pi }\right)}^n{\sigma }_1{\sigma }_1...{\sigma }_n}{e}^{?\frac{{\left(x_1?{\mu }_1\right)}^2}{2{{\sigma }_1}^2}?\frac{{\left(x_2?{\mu }_2\right)}^2}{2{{\sigma }_2}^2}...?\frac{{\left(x_n?{\mu }_n\right)}^2}{2{{\sigma }_n}^2}}$$

• 將$\frac{{\left(x_1?{\mu }_1\right)}^2}{2{{\sigma }_1}^2}+\frac{{\left(x_2?{\mu }_2\right)}^2}{2{{\sigma }_2}^2}...+\frac{{\left(x_n?{\mu }_n\right)}^2}{2{{\sigma }_n}^2}$分解表示：
  $$\left[x_1?{\mu }_1,x_2?{\mu }_2...x_n?{\mu }_n\right]\left[\begin{array}{cccc}\frac{1}{{\sigma }_1^2}& 0& ....& 0\\ 0& \frac{1}{{\sigma }_2^2}& ....& 0\\ ....& ....& ....& ....\\ 0& 0& ....& \frac{1}{{\sigma }_n^2}\end{array}\right]{\left[x_1?{\mu }_1,x_2?{\mu }_2...x_n?{\mu }_n\right]}^T$$
  用$x?{\mu }_x$表示${\left[x_1?{\mu }_1,x_2?{\mu }_2...x_n?{\mu }_n\right]}^T$；用協方差矩陣$\Sigma$表示 $\left[\begin{array}{cccc}{\sigma }_1^2& 0& ....& 0\\ 0& {\sigma }_2^2& ....& 0\\ ....& ....& ....& ....\\ 0& 0& ....& {\sigma }_n^2\end{array}\right]$，則進一步簡化為${\left(x?{\mu }_x\right)}^T(\Sigma {)}^{?1}\left(x?{\mu }_x\right)$。
• $\Sigma$行列式為$\left|\Sigma \right|={\sigma }_1^2{\sigma }_2^2....{\sigma }_n^2$，因此${\left|\Sigma \right|}^{\frac{1}{2}}={\sigma }_1{\sigma }_2....{\sigma }_n$。

因此多維正態高斯分布函數：
$$f\left(x\right)=\frac{1}{{\left(\sqrt{2\pi }\right)}^n{\left|\Sigma \right|}^{\frac{1}{2}}}{e}^{?\frac{{\left(x?{\mu }_x\right)}^T{(\Sigma )}^{?1}\left(x?{\mu }_x\right)}{2}}$$

2.$n$個服從正態分布且的隨機變量$x={\left[x_1,x_2,...,x_n\right]}^T$，其均值為$\mu \left(x\right)={\left[{\mu }_1,{\mu }_2,...,{\mu }_n\right]}^T$，方差為$\sigma \left(x\right)={\left[{\sigma }_1,{\sigma }_2,...,{\sigma }_n\right]}^T$，還需要一個協方差矩陣$\Sigma$來描述變量之間的相關性。多維正態高斯分布函數依舊是：
$$f\left(x\right)=\frac{1}{{\left(\sqrt{2\pi }\right)}^n{\left|\Sigma \right|}^{\frac{1}{2}}}{e}^{?\frac{{\left(x?{\mu }_x\right)}^T{(\Sigma )}^{?1}\left(x?{\mu }_x\right)}{2}}$$
協方差矩陣同樣是一個$\mathrm{n}\times \mathrm{n}$的矩陣，其元素${\Sigma }_{ij}$表示第$i$個隨機變量與第$j$個隨機變量之間的協方差：
$$\Sigma =\left[\begin{array}{cccc}{\sigma }_1^2& {\sigma }_{12}& ....& {\sigma }_{1n}\\ {\sigma }_{21}& {\sigma }_2^2& ....& {\sigma }_{2n}\\ ....& ....& ....& ....\\ {\sigma }_{n1}& {\sigma }_{n2}& ....& {\sigma }_n^2\end{array}\right]$$
如果${\Sigma }_{ij}={\sigma }_{ij}=0$ 說明第$i$個變量和第$j$個變量之間沒有線性相關性，$n$個服從正態分布且互不相關的獨立變量即是這種情況，互相都沒有線性相關性；
如果${\Sigma }_{ij}={\sigma }_{ij}\ne 0$則說明第$i$個變量和第$j$個變量之間存在線性相關性。

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橢球

基本定義

在坐標系中橢球方程表示為：
$$\frac{{\left(x?x_0\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(y?y_0\right)}^2}{b^2}+\frac{{\left(z?z_0\right)}^2}{c^2}=1$$
橢球的中心位于空間中的某一點$\left(x_0,y_0,z_0\right)$，其中，$a$、$b$和$c$分別是橢球沿$x$、$y$和$z$軸方向的半軸長度。如果 $a=b=c$，則該圖形是一個球體。
當橢球中心點位于坐標原點$(0,0,0)$時，標準橢球(中心位于原點且軸與坐標軸對齊的橢球)的方程可以表示為：
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$$

一般二次形式

用二次方程來表示三維空間中任意位置、任意方向的橢球。這種形式可以涵蓋橢球的中心不在原點、主軸不與坐標軸對齊的情況。
主軸與坐標軸對齊的情況： 通過展開橢球方程，將其轉化為一個一般的二次曲面形式(即包含$x^2$ 、$y^2$、$z^2$、一次項和常數項的形式)：

• 展開平方項：
  $$\frac{{\left(x?x_0\right)}^2}{a^2}=\frac{x^2?2x{x}_0+{x_0}^2}{a^2}$$
  $$\frac{{\left(y?y_0\right)}^2}{b^2}=\frac{y^2?2y{y}_0+{y_0}^2}{b^2}$$
  $$\frac{{\left(z?z_0\right)}^2}{c^2}=\frac{z^2?2z{z}_0+{z_0}^2}{c^2}$$
• 整理為一般二次形式：
  $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{b^2}?\frac{2x{x}_0}{a^2}?\frac{2y{y}_0}{b^2}?\frac{2z{z}_0}{c^2}+(\frac{{x_0}^2}{a^2}+\frac{{y_0}^2}{b^2}+\frac{{z_0}^2}{c^2})=1$$

一般二次形式的格式如下：
$$A{x}^2+B{y}^2+C{z}^2+Dx+Ey+Fz+G=1$$
橢球的中心位于空間中的某一點$\left(x_0,y_0,z_0\right)$，對應地：$A=\frac{1}{a^2}$；$B=\frac{1}{b^2}$；$C=\frac{1}{c^2}$；$D=\frac{2x_0}{a^2}$；$E=\frac{2x_0}{b^2}$；$F=\frac{2x_0}{z^2}$；$G=(\frac{{x_0}^2}{a^2}+\frac{{y_0}^2}{b^2}+\frac{{z_0}^2}{c^2})$。
當橢球中心點位于坐標原點$(0,0,0)$時：
$$A{x}^2+B{y}^2+C{z}^2=1$$
主軸不與坐標軸對齊的情況(常見情形)： 橢球中心點$({\mathrm{x}}_0,{\mathrm{y}}_0,{\mathrm{z}}_0)$平移到原點，然后橢球經過繞$z$軸旋轉$\alpha$，繞$y$軸旋轉$\beta$，繞$x$軸旋轉$\gamma$。

• 中心點$({\mathrm{x}}_0,{\mathrm{y}}_0,{\mathrm{z}}_0)$平移到坐標原點：
  $$\begin{array}{l}x\prime =x?x_0\\ y\prime =y?y_0\\ z\prime =z?z_0\end{array}$$
• 繞$z$軸旋轉$\alpha$，旋轉矩陣$R_{\mathrm{z}}\left(\alpha \right)$：
  $$R_{\mathrm{z}}\left(\alpha \right)=\left[\begin{array}{ccc}\cos \alpha & ?\sin \alpha & 0\\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$
  旋轉后的坐標$(\mathrm{x}\prime \prime ,\mathrm{y}\prime \prime ,\mathrm{z}\prime \prime )$由坐標$(\mathrm{x}\prime ,\mathrm{y}\prime ,\mathrm{z}\prime )$計算得出：
  $$\left[\begin{array}{c}x\prime \prime \\ y\prime \prime \\ z\prime \prime \end{array}\right]=R_x\left(\alpha \right)\left[\begin{array}{c}x\prime \\ x\prime \\ x\prime \end{array}\right]$$
  其中$(\mathrm{x}\prime \prime ,\mathrm{y}\prime \prime ,\mathrm{z}\prime \prime )$的值分別為：
  $$\begin{array}{l}x\prime \prime =x\prime \cos \alpha ?y\prime \sin \alpha \\ y\prime \prime =x\prime \sin \alpha +y\prime \cos \alpha \\ z\prime \prime =z\prime \end{array}$$
• 繞$y$軸旋轉$\beta$，旋轉矩陣$R_y\left(\beta \right)$：
  $$R_y\left(\beta \right)=\left[\begin{array}{ccc}\cos \beta & 0& \sin \beta \\ 0& 1& 0\\ ?\sin \beta & 0& \cos \beta \end{array}\right]$$
  旋轉后的坐標$(\mathrm{x}\prime \prime \prime ,\mathrm{y}\prime \prime \prime ,\mathrm{z}\prime \prime \prime )$由原始坐標$(\mathrm{x}\prime \prime ,\mathrm{y}\prime \prime ,\mathrm{z}\prime \prime )$計算得出：
  $$\left[\begin{array}{c}x\prime \prime \prime \\ y\prime \prime \prime \\ z\prime \prime \prime \end{array}\right]=R_y\left(\beta \right)\left[\begin{array}{c}x\prime \prime \\ y\prime \prime \\ z\prime \prime \end{array}\right]$$
  其中$(\mathrm{x}\prime \prime \prime ,\mathrm{y}\prime \prime \prime ,\mathrm{z}\prime \prime \prime )$的值分別為：
  $$\begin{array}{l}x\prime \prime \prime =x\prime \prime \cos \beta +z\prime \prime \sin \beta =(x\prime \cos \alpha ?y\prime \sin \alpha )\cos \beta +z\prime \sin \beta \\ y\prime \prime \prime =y\prime \prime =x\prime \sin \alpha +y\prime \cos \alpha \\ z\prime \prime \prime =?x\prime \prime \sin \beta +z_1\cos \beta =?(x\prime \cos \alpha ?y\prime \sin \alpha )\sin \beta +z\prime \cos \beta \end{array}$$
• 繞$x$軸旋轉$\gamma$，旋轉矩陣$R_z\left(\gamma \right)$：
  $$R_z\left(\gamma \right)=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \gamma & ?\sin \gamma \\ 0& \sin \gamma & \cos \gamma \end{array}\right]$$
  旋轉后的坐標$(\mathrm{x}\prime \prime \prime \prime ,\mathrm{y}\prime \prime \prime \prime ,\mathrm{z}\prime \prime \prime \prime )$由原始坐標$(\mathrm{x}\prime \prime \prime ,\mathrm{y}\prime \prime \prime ,\mathrm{z}\prime \prime \prime )$計算得出：
  $$\left[\begin{array}{c}x\prime \prime \prime \prime \\ y\prime \prime \prime \prime \\ z\prime \prime \prime \prime \end{array}\right]=R_z\left(\gamma \right)\left[\begin{array}{c}x\prime \prime \prime \\ y\prime \prime \prime \\ z\prime \prime \prime \end{array}\right]$$
  其中$(\mathrm{x}\prime \prime \prime \prime ,\mathrm{y}\prime \prime \prime \prime ,\mathrm{z}\prime \prime \prime \prime )$的值分別為：
  $$\begin{array}{l}x\prime \prime \prime \prime =x\prime \prime \prime =(x\prime \cos \alpha ?y\prime \sin \alpha )\cos \beta +z\prime \sin \beta \\ y\prime \prime \prime \prime =y\prime \prime \prime \cos \gamma ?z\prime \prime \prime \sin \gamma =(x\prime \sin \alpha +y\prime \cos \alpha )\cos \gamma ?(?(x\prime \cos \alpha ?y\prime \sin \alpha )\sin \beta +z\prime \cos \beta )\sin \gamma \\ z\prime \prime \prime \prime =y\prime \prime \prime \sin \gamma +z\prime \prime \prime \cos \gamma =(x\prime \sin \alpha +y\prime \cos \alpha )\sin \gamma +(?(x\prime \cos \alpha ?y\prime \sin \alpha )\sin \beta +z\prime \cos \beta )\cos \gamma \end{array}$$
  將坐標$(\mathrm{x}\prime ,\mathrm{y}\prime ,\mathrm{z}\prime )$轉化成$(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z})$：
  $$\begin{array}{l}x\prime \prime \prime \prime =((x?x_0)\cos \alpha ?(y?y_0)\sin \alpha )\cos \beta +(z?z_0)\sin \beta \\ y\prime \prime \prime \prime =((x?x_0)\sin \alpha +(y?y_0)\cos \alpha )\cos \gamma ?(?((x?x_0)\cos \alpha ?(y?y_0)\sin \alpha )\sin \beta +(z?z_0)\cos \beta )\sin \gamma \\ z\prime \prime \prime \prime =((x?x_0)\sin \alpha +(y?y_0)\cos \alpha )\sin \gamma +(?((x?x_0)\cos \alpha ?(y?y_0)\sin \alpha )\sin \beta +(z?z_0)\cos \beta )\cos \gamma \end{array}$$

將$(\mathrm{x}\prime \prime \prime \prime ,\mathrm{y}\prime \prime \prime \prime ,\mathrm{z}\prime \prime \prime \prime )$代入標準橢球方程：
$$\frac{x\prime \prime \prime {\prime }^2}{a^2}+\frac{y\prime \prime \prime {\prime }^2}{b^2}+\frac{z\prime \prime \prime {\prime }^2}{c^2}=1$$
總的旋轉矩陣為：
$$R=R_x\left(\gamma \right)R_y\left(\beta \right)R_z\left(\alpha \right)=\left[\begin{array}{ccc}{r}_{11}& r_{12}& r_{13}\\ r_{21}& r_{22}& r_{23}\\ r_{31}& r_{32}& r_{33}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\cos \alpha \cos \beta & \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma ?\sin \alpha \cos \gamma & \cos \alpha \sin \beta \cos \gamma +\sin \alpha \sin \gamma \\ \sin \alpha \cos \beta & \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma +\cos \alpha \cos \gamma & \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma ?\cos \alpha \sin \gamma \\ ?\sin \beta & \cos \beta \sin \gamma & ?\cos \beta \cos \gamma \end{array}\right]$$
展開并整理此方程，得到一般二次形式：
$$A{\mathrm{x}}^2+B{y}^2+C{z}^2+Dxy+Exz+Fyz++Gx+Hy+Iz+J=0$$
二次項系數：
$$\begin{array}{l}A=\frac{r_{11}^2}{a^2}+\frac{r_{21}^2}{b^2}+\frac{r_{31}^2}{c^2}\\ B=\frac{r_{12}^2}{a^2}+\frac{r_{22}^2}{b^2}+\frac{r_{32}^2}{c^2}\\ C=\frac{r_{13}^2}{a^2}+\frac{r_{23}^2}{b^2}+\frac{r_{33}^2}{c^2}\end{array}$$
交叉項系數：
$$\begin{array}{l}D=2(\frac{r_{11}{r}_{12}}{a^2}+\frac{r_{21}{r}_{22}}{b^2}+\frac{r_{31}{r}_{32}}{c^2})\\ E=2(\frac{r_{11}{r}_{13}}{a^2}+\frac{r_{21}{r}_{23}}{b^2}+\frac{r_{31}{r}_{33}}{c^2})\\ F=2(\frac{r_{12}{r}_{13}}{a^2}+\frac{r_{22}{r}_{23}}{b^2}+\frac{r_{32}{r}_{33}}{c^2})\end{array}$$
一次項系數：
$$\begin{array}{l}G=?2\left(\frac{x_0}{a^2}{r}_{11}^2+\frac{y_0}{b^2}{r}_{21}^2+\frac{z_0}{c^2}{r}_{31}^2+\frac{x_0}{b^2}(2r_{11}{r}_{21})+\frac{x_0}{c^2}(2r_{11}{r}_{31})+\frac{y_0}{a^2}(2r_{11}{r}_{21})+\frac{y_0}{c^2}(2r_{21}{r}_{31})+\frac{z_0}{a^2}(2r_{11}{r}_{31})+\frac{z_0}{b^2}(2r_{21}{r}_{31})\right)\\ H=?2\left(\frac{x_0}{a^2}{r}_{12}^2+\frac{y_0}{b^2}{r}_{22}^2+\frac{z_0}{c^2}{r}_{32}^2+\frac{x_0}{b^2}(2r_{12}{r}_{22})+\frac{x_0}{c^2}(2r_{12}{r}_{32})+\frac{y_0}{a^2}(2r_{12}{r}_{22})+\frac{y_0}{c^2}(2r_{22}{r}_{32})+\frac{z_0}{a^2}(2r_{12}{r}_{32})+\frac{z_0}{b^2}(2r_{22}{r}_{32})\right)\\ G=?2\left(\frac{x_0}{a^2}{r}_{13}^2+\frac{y_0}{b^2}{r}_{23}^2+\frac{z_0}{c^2}{r}_{33}^2+\frac{x_0}{b^2}(2r_{13}{r}_{23})+\frac{x_0}{c^2}(2r_{13}{r}_{33})+\frac{y_0}{a^2}(2r_{13}{r}_{23})+\frac{y_0}{c^2}(2r_{23}{r}_{33})+\frac{z_0}{a^2}(2r_{13}{r}_{33})+\frac{z_0}{b^2}(2r_{23}{r}_{33})\right)\end{array}$$
常數項:
$$J=\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}+\frac{z_0^2}{c^2}?1$$

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3D高斯橢球

3D高斯與橢球的關系

回顧了多維高斯和橢球的基礎知識，本小節終于到了解釋3D高斯明明是個分布，為什么可以是個橢球。

三維正態分布的概率密度函數可以表示為：
$$f\left([x,y,z]\right)=\frac{1}{{\left(\sqrt{2\pi }\right)}^3{\left|\Sigma \right|}^{\frac{1}{2}}}{e}^{?\frac{{\left(x?{\mu }_x\right)}^T{(\Sigma )}^{?1}\left(x?{\mu }_x\right)}{2}}$$
$\mu$是均值向量，${\mu }_1$、${\mu }_2$、${\mu }_3$分別是$x$、$y$、$z$的均值：
$$\mu =\left[\begin{array}{c}{\mu }_1\\ {\mu }_2\\ {\mu }_3\end{array}\right]$$
$\Sigma$是協方差矩陣，它是一個$3\times 3$的矩陣，${\sigma }_1^2$、${\sigma }_2^2$、${\sigma }_3^2$分別是$x$、$y$、$z$的方差，${\sigma }_{12}$、${\sigma }_{13}$、${\sigma }_{23}$分別是 $x$與$y$、$x$與$z$、$y$與$z$的協方差：
$$\Sigma =\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_1^2& {\sigma }_{12}& {\sigma }_{13}\\ {\sigma }_{21}& {\sigma }_2^2& {\sigma }_{23}\\ {\sigma }_{31}& {\sigma }_{32}& {\sigma }_3^2\end{array}\right]$$
其中指數部分展開為：
$${\left(x?{\mu }_x\right)}^T(\Sigma {)}^{?1}\left(x?{\mu }_x\right)=\frac{{\left(x?{\mu }_1\right)}^2}{{\sigma }_1^2}+\frac{{\left(y?{\mu }_2\right)}^2}{{\sigma }_2^2}+\frac{{\left(z?{\mu }_3\right)}^2}{{\sigma }_3^2}?\frac{2{\sigma }_{12}\left(x?{\mu }_1\right)\left(y?{\mu }_2\right)}{{\sigma }_1{\sigma }_2}?\frac{2{\sigma }_{13}\left(x?{\mu }_1\right)\left(\left(z?{\mu }_3\right)\right)}{{\sigma }_1{\sigma }_3}?\frac{2{\sigma }_{23}\left(y?{\mu }_2\right)\left(\left(z?{\mu }_3\right)\right)}{{\sigma }_2{\sigma }_3}$$
因此，公式展開為：
$$f\left([x,y,z]\right)=\frac{1}{{\left(\sqrt{2\pi }\right)}^3{\left|\Sigma \right|}^{\frac{1}{2}}}{e}^{?\frac{1}{2}\left[\frac{{\left(x?{\mu }_1\right)}^2}{{\sigma }_1^2}+\frac{{\left(y?{\mu }_2\right)}^2}{{\sigma }_2^2}+\frac{{\left(z?{\mu }_3\right)}^2}{{\sigma }_3^2}?\frac{2{\sigma }_{12}\left(x?{\mu }_1\right)\left(y?{\mu }_2\right)}{{\sigma }_1{\sigma }_2}?\frac{2{\sigma }_{13}\left(x?{\mu }_1\right)\left(\left(z?{\mu }_3\right)\right)}{{\sigma }_1{\sigma }_3}?\frac{2{\sigma }_{23}\left(y?{\mu }_2\right)\left(\left(z?{\mu }_3\right)\right)}{{\sigma }_2{\sigma }_3}\right]}$$
對于一個確定的三維高斯函數，其概率密度函數的取值范圍是有限的，最大值出現在均值點$\mathrm{x}=\mu$，當 $x$遠離$\mu$時函數值趨近于0。因此對應的${\left(x?{\mu }_x\right)}^T(\Sigma {)}^{?1}\left(x?{\mu }_x\right)$取值范圍也是從0到一個具體的、有限的數值。當${\left(x?{\mu }_x\right)}^T(\Sigma {)}^{?1}\left(x?{\mu }_x\right)=\mathrm{constant}$時，即在取值范圍內隨機取某個值$constant$，可以定義某一個橢球面：
$$\frac{{\left(x?{\mu }_1\right)}^2}{{\sigma }_1^2}+\frac{{\left(y?{\mu }_2\right)}^2}{{\sigma }_2^2}+\frac{{\left(z?{\mu }_3\right)}^2}{{\sigma }_3^2}?\frac{2{\sigma }_{12}\left(x?{\mu }_1\right)\left(y?{\mu }_2\right)}{{\sigma }_1{\sigma }_2}?\frac{2{\sigma }_{13}\left(x?{\mu }_1\right)\left(\left(z?{\mu }_3\right)\right)}{{\sigma }_1{\sigma }_3}?\frac{2{\sigma }_{23}\left(y?{\mu }_2\right)\left(\left(z?{\mu }_3\right)\right)}{{\sigma }_2{\sigma }_3}=\mathrm{constant}$$
因為展開整理，可以得到橢圓的一般二次形式：
$$A{\mathrm{x}}^2+B{y}^2+C{z}^2+Dxy+Exz+Fyz++Gx+Hy+Iz+J=0$$
因此${\left(x?{\mu }_x\right)}^T(\Sigma {)}^{?1}\left(x?{\mu }_x\right)$在其取值范圍內可以構成無數個橢圓面，大橢球面套小橢球面，共同組成了一個實心橢球。每個橢圓面都可以計算出對應的概論密度值$f\left([x,y,z]\right)=\mathrm{constant}$，即橢球面上的所有坐標點的概論密度值。

各向同性(Isotropic)和各向異性(Anisotropic)

進一步深入探討各向同性和 各向異性在 3D高斯分布中的數學形式以及幾何表現。
各向同性高斯分布： 指在所有方向上具有相同的性質，數據在各個方向上的擴展程度(方差)相同，協方差為0，協方差矩陣：
$$\Sigma =\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }^2& 0& 0\\ 0& {\sigma }^2& 0\\ 0& 0& {\sigma }^2\end{array}\right]$$
三個維度之間無相關性(協方差為0)，且方差一致。 對應的高斯分布在三維空間中呈現為一個球形。
各向異性高斯分布： 表示在不同方向上性質不同，數據在不同方向上的擴展程度(方差)不同，協方差可能不為0，協方差矩陣更一般化：
$$\Sigma =\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_1^2& {\sigma }_{12}& {\sigma }_{13}\\ {\sigma }_{21}& {\sigma }_2^2& {\sigma }_{23}\\ {\sigma }_{31}& {\sigma }_{32}& {\sigma }_3^2\end{array}\right]$$
三個維度之間可能有相關性(協方差不為0)，且方差互不一致。對應的高斯分布在三維空間中呈現為一個橢球體，即沿不同主軸方向拉伸或壓縮。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3Ddef plot_ellipsoid(ax, mean, cov, color='blue', n_points=100):"""在給定的axes上繪制一個基于協方差矩陣的橢球。"""# 生成單位球面點u = np.linspace(0, 2 * np.pi, n_points)v = np.linspace(0, np.pi, n_points)x = np.outer(np.cos(u), np.sin(v))y = np.outer(np.sin(u), np.sin(v))z = np.outer(np.ones_like(u), np.cos(v))# 協方差矩陣特征分解eigvals, eigvecs = np.linalg.eigh(cov)# 按特征值大小排序（從大到小）idx = np.argsort(eigvals)[::-1]eigvals = eigvals[idx]eigvecs = eigvecs[:, idx]# 構建縮放矩陣scale_matrix = np.diag(np.sqrt(eigvals))  # 取平方根得到標準差# 將單位球變換為橢球for i in range(len(x)):points = np.column_stack([x[i], y[i], z[i]])transformed = points @ (scale_matrix @ eigvecs.T) + meanx[i], y[i], z[i] = transformed[:, 0], transformed[:, 1], transformed[:, 2]# 繪制橢球ax.plot_surface(x, y, z, color=color, alpha=0.6, linewidth=0, antialiased=True)# 創建圖形和子圖
fig = plt.figure(figsize=(15, 7))# 各向同性橢球（球體）
ax1 = fig.add_subplot(121, projection='3d')
mean_iso = [0, 0, 0]
cov_iso = np.eye(3)
plot_ellipsoid(ax1, mean_iso, cov_iso, color='skyblue')# 設置坐標軸標簽
ax1.set_xlabel('X axis')
ax1.set_ylabel('Y axis')
ax1.set_zlabel('Z axis')
ax1.set_title('Isotropic Sphere')# 調整視角以正對Z軸
ax1.view_init(elev=90, azim=0)# 各向異性橢球
ax2 = fig.add_subplot(122, projection='3d')
mean_aniso = [0, 0, 0]
cov_aniso = np.array([[1, 0.5, 0.3],[0.5, 2, 0.4],[0.3, 0.4, 3]])
plot_ellipsoid(ax2, mean_aniso, cov_aniso, color='salmon')# 設置坐標軸標簽
ax2.set_xlabel('X axis')
ax2.set_ylabel('Y axis')
ax2.set_zlabel('Z axis')
ax2.set_title('Anisotropic Ellipsoid')# 調整視角以正對Z軸
ax2.view_init(elev=90, azim=0)plt.tight_layout()
plt.savefig("gaussian_distribution_visualizer.jpg", dpi=300, bbox_inches='tight')
plt.show()

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總結

盡可能簡單、詳細的介紹了高斯橢球的形成原理。