一、海倫公式的定義與推導

1. 海倫公式的定義

海倫公式（Heron’s Formula）是用于計算三角形面積的一種方法，適用于已知三角形三邊長度的情況。公式如下：

$$S=\sqrt{s(s?a)(s?b)(s?c)}$$

其中：

• $ a $、$ b $、$ c $是三角形的三邊長度。
• $ s $ 是三角形的半周長，計算公式為：
  $$s=\frac{a+b+c}{2}$$

2. 海倫公式的推導

海倫公式的推導可以通過三角形的面積公式和余弦定理來完成。以下是簡要的推導過程：

1. 三角形面積公式：
   $$S=\frac{1}{2}ab\sin C$$
   其中 $ C$ 是邊 $ a $ 和邊 $ b $ 之間的夾角。

2. 余弦定理：
   $$c^2=a^2+b^2?2ab\cos C$$

3. 結合上述公式：
   通過代數運算和三角恒等式，可以將面積公式轉換為僅用三邊 $ a $、$ b$、$ c $ 表示的形式，最終得到海倫公式。

二、用海倫公式快速判斷點在直線的哪一側的原理

1. 行列式公式

行列式公式可以快速判斷點$ p $ 是否在由兩點 $ a $ 和 $ b $構成的直線的某一側。行列式公式如下：

$$D=(x_b?x_a)(y_p?y_a)?(y_b?y_a)(x_p?x_a)$$

• 如果 $ D > 0 $，點 $p $ 在直線 $ ab $ 的左側。
• 如果 $ D < 0 $，點$ p $ 在直線$ ab $ 的右側。
• 如果 $ D \approx 0 $，點$ p $ 在直線 $ ab $ 上。

2. 海倫公式的應用

如果行列式公式的結果接近零（即點 $ p $ 可能在直線上），可以用海倫公式進一步驗證。通過計算三角形 ( abp ) 的面積：

• 如果面積為零，則點 $p $ 在直線$ ab $ 上。
• 如果面積不為零，則點 $ p $ 不在直線上。
  

三、代碼實現

以下是用 C++ 實現的代碼，結合行列式公式和海倫公式來判斷點在直線的哪一側：

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <vector>using namespace std;struct Point {double x, y;Point(double x = 0, double y = 0) : x(x), y(y) {}
};// 行列式公式判斷點 p 在直線 ab 的哪一側
int determinantSign(const Point& a, const Point& b, const Point& p) {double d = (b.x - a.x) * (p.y - a.y) - (b.y - a.y) * (p.x - a.x);if (d > 1e-9) return 1;  // 左側if (d < -1e-9) return -1; // 右側return 0;                 // 在直線上
}// 海倫公式計算三角形面積
double heronArea(const Point& a, const Point& b, const Point& p) {double ab = sqrt(pow(b.x - a.x, 2) + pow(b.y - a.y, 2));double ap = sqrt(pow(p.x - a.x, 2) + pow(p.y - a.y, 2));double bp = sqrt(pow(p.x - b.x, 2) + pow(p.y - b.y, 2));double s = (ab + ap + bp) / 2.0;return sqrt(s * (s - ab) * (s - ap) * (s - bp));
}int main() {Point a(0, 0), b(4, 0);vector<Point> points = {{2, 3},  // 在左側{2, -3}, // 在右側{2, 0},  // 在直線上{0, 0},  // 在直線上{4, 0}   // 在直線上};for (const auto& p : points) {int side = determinantSign(a, b, p);if (side == 0) {// 如果行列式結果接近零，進一步用海倫公式驗證double area = heronArea(a, b, p);if (area < 1e-9) {cout << "Point (" << p.x << ", " << p.y << ") is on the line AB." << endl;}} else if (side == 1) {cout << "Point (" << p.x << ", " << p.y << ") is on the left side of line AB." << endl;} else {cout << "Point (" << p.x << ", " << p.y << ") is on the right side of line AB." << endl;}}return 0;
}

代碼說明

1. 行列式公式：

   • 通過行列式公式快速判斷點 ( p ) 的位置關系。
   • 如果行列式結果大于 ( 1e-9 )，點在左側；小于 ( -1e-9 )，點在右側；否則認為點在直線上。

2. 海倫公式：

   • 如果行列式結果接近零（即點可能在直線上），進一步用海倫公式計算三角形面積。
   • 如果面積小于 ( 1e-9 )，則確認點在直線上。

3. 輸出結果：

   • 根據行列式公式和海倫公式的結合結果，輸出點的位置關系。

四、總結

通過行列式公式和海倫公式的結合，可以快速且準確地判斷點在直線的哪一側。行列式公式提供了快速判斷，而海倫公式用于進一步驗證點是否在直線上。這種方法既高效又可靠，適用于多種場景下的幾何計算。希望本文能幫助你更好地理解和應用海倫公式。