????????在動態規劃中，填表時固定最后一個數還是倒數第二個數，取決于問題的定義和狀態轉移方程的設計。

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目錄

1. 固定最后一個數

適用場景

特點

示例

2. 固定倒數第二個數

適用場景

特點

示例

3. 固定最后一個數與倒數第二個數的對比

4. 總結

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1. 固定最后一個數

適用場景

• 當問題的解與以某個位置為結尾的子問題相關時，通常固定最后一個數。

• 例如：最大子數組和、最長遞增子序列（LIS）等問題。

特點

• 狀態定義通常為?dp[i]，表示以第?i?個元素為結尾的最優解。

• 狀態轉移方程通常依賴于前一個狀態（dp[i-1]）或前面所有狀態。

示例

• 最大子數組和
  狀態定義：dp[i]?表示以?nums[i]?為結尾的最大子數組和。
  狀態轉移：dp[i] = max(nums[i], dp[i-1] + nums[i])
  代碼：

  int maxSubArray(vector<int>& nums) {int dp = nums[0], res = dp;for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {dp = max(nums[i], dp + nums[i]);res = max(res, dp);}return res;
  }

• 最長遞增子序列（LIS）
  狀態定義：dp[i]?表示以?nums[i]?為結尾的最長遞增子序列長度。
  狀態轉移：dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)，其中?j < i?且?nums[j] < nums[i]
  代碼：

  int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {vector<int> dp(nums.size(), 1);int res = 1;for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {for (int j = 0; j < i; j++) {if (nums[i] > nums[j]) {dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);}}res = max(res, dp[i]);}return res;
  }

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2. 固定倒數第二個數

適用場景

• 當問題的解與子問題的中間狀態相關時，通常固定倒數第二個數。

• 例如：最長公共子序列（LCS）、編輯距離等問題。

特點

• 狀態定義通常為?dp[i][j]，表示前?i?個元素和前?j?個元素之間的某種關系。

• 狀態轉移方程通常依賴于?dp[i-1][j-1]、dp[i-1][j]?或?dp[i][j-1]。

示例

• 最長公共子序列（LCS）
  狀態定義：dp[i][j]?表示字符串?A?的前?i?個字符和字符串?B?的前?j?個字符的最長公共子序列長度。
  狀態轉移：

  if (A[i-1] == B[j-1]) {dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
  } else {dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
  }

  代碼：

  int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {int m = text1.size(), n = text2.size();vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1, 0));for (int i = 1; i <= m; i++) {for (int j = 1; j <= n; j++) {if (text1[i-1] == text2[j-1]) {dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;} else {dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);}}}return dp[m][n];
  }

• 編輯距離
  狀態定義：dp[i][j]?表示將字符串?A?的前?i?個字符轉換為字符串?B?的前?j?個字符所需的最小操作次數。
  狀態轉移：

  if (A[i-1] == B[j-1]) {dp[i][j] = dp[i-1][j-1];
  } else {dp[i][j] = min({dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1]}) + 1;
  }

  代碼：

  int minDistance(string word1, string word2) {int m = word1.size(), n = word2.size();vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1, 0));for (int i = 0; i <= m; i++) dp[i][0] = i;for (int j = 0; j <= n; j++) dp[0][j] = j;for (int i = 1; i <= m; i++) {for (int j = 1; j <= n; j++) {if (word1[i-1] == word2[j-1]) {dp[i][j] = dp[i-1][j-1];} else {dp[i][j] = min({dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1]}) + 1;}}}return dp[m][n];
  }

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3. 固定最后一個數與倒數第二個數的對比

特性	固定最后一個數	固定倒數第二個數
適用問題	子數組、子序列問題	雙序列、矩陣類問題
狀態定義	dp[i]?或?dp[i][j]	dp[i][j]
狀態轉移	依賴前一個狀態或前面所有狀態	依賴?dp[i-1][j-1]?等中間狀態
典型問題	最大子數組和、LIS	LCS、編輯距離

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4. 總結

• 固定最后一個數：適用于子數組或子序列問題，狀態轉移通常依賴于前一個狀態或前面所有狀態。

• 固定倒數第二個數：適用于雙序列或矩陣類問題，狀態轉移通常依賴于中間狀態（如?dp[i-1][j-1]）。