基尼系數的定義

基尼系數是衡量數據分布不均衡程度的指標，取值范圍在0到1之間：

• 0 表示完全均衡（所有值相等）。
• 1 表示完全不均衡（所有值集中在一個點）。

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基尼系數的計算公式

假設有 $n$ 個數據點，其值為 $x_1,x_2,\dots ,x_n$，且已按從小到大排序。基尼系數的計算公式為：

$$G=\frac{{\sum }_{i=1}^n(2i?n?1)?x_i}{n?{\sum }_{i=1}^n{x}_i}$$

其中：

• $x_i$ 是第 $i$ 個數據點的值。
• $n$ 是數據點的總數。

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計算步驟

1. 排序：將 $x_1,x_2,\dots ,x_n$ 按從小到大排序。
2. 計算分子：計算 ${\sum }_{i=1}^n(2i?n?1)?x_i$。
3. 計算分母：計算 $n?{\sum }_{i=1}^n{x}_i$。
4. 計算基尼系數：將分子除以分母。

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示例計算

以地域維度的波動貢獻值 [2.5, 1, 1, 95.5] 為例：

1. 排序：[1, 1, 2.5, 95.5]
2. 計算分子：
   $$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^4(2i?4?1)?x_i& =(2?1?5)?1+(2?2?5)?1\\ & +(2?3?5)?2.5+(2?4?5)?95.5\\ & =(?3)?1+(?1)?1+1?2.5+3?95.5\\ & =?3?1+2.5+286.5\\ & =285\end{array}$$
3. 計算分母：
   $$n?\sum _{i=1}^4{x}_i=4?(1+1+2.5+95.5)=4?100=400$$
4. 計算基尼系數：
   $$G=\frac{285}{400}=0.7125$$

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案例說明

假設我們分析某公司銷售額的異常下跌，數據分為兩個維度：

1. 地域維度：包含4個地區（A、B、C、D）
2. 時間維度：包含4個時間段（Q1、Q2、Q3、Q4）

我們需要計算每個維度下各維度值對整體銷售額波動的貢獻值。

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波動貢獻值的計算步驟

1. 計算整體銷售額的波動

• 假設上期總銷售額為 1000 萬元，本期總銷售額為 800 萬元。
• 整體波動 = 本期銷售額 - 上期銷售額 = 800 - 1000 = -200 萬元

2. 計算每個維度值的波動

對于每個維度值，計算其本期銷售額與上期銷售額的差值。

地域維度

地區	上期銷售額（萬元）	本期銷售額（萬元）	波動值（萬元）
A	100	95	-5
B	200	198	-2
C	300	298	-2
D	400	209	-191

時間維度

時間段	上期銷售額（萬元）	本期銷售額（萬元）	波動值（萬元）
Q1	250	224	-26
Q2	250	225	-25
Q3	250	225	-25
Q4	250	226	-24

3. 計算每個維度值的波動貢獻值

波動貢獻值 = (維度值的波動值 / 整體波動) × 100

地域維度

地區	波動值（萬元）	波動貢獻值（%）
A	-5	(-5 / -200) × 100 = 2.5%
B	-2	(-2 / -200) × 100 = 1%
C	-2	(-2 / -200) × 100 = 1%
D	-191	(-191 / -200) × 100 = 95.5%

因此，地域維度的波動貢獻值為：[2.5, 1, 1, 95.5]

時間維度

時間段	波動值（萬元）	波動貢獻值（%）
Q1	-26	(-26 / -200) × 100 = 13%
Q2	-25	(-25 / -200) × 100 = 12.5%
Q3	-25	(-25 / -200) × 100 = 12.5%
Q4	-24	(-24 / -200) × 100 = 12%

因此，時間維度的波動貢獻值為：[13, 12.5, 12.5, 12]

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基尼系數的計算

根據波動貢獻值，可以計算每個維度的基尼系數。

地域維度的基尼系數

• 波動貢獻值：[2.5, 1, 1, 95.5]
• 基尼系數較高，說明地域維度值分布不均衡，D地區的波動貢獻值（95.5%）遠高于其他地區。

時間維度的基尼系數

• 波動貢獻值：[13, 12.5, 12.5, 12]
• 基尼系數較低，說明時間維度值分布均衡，各時間段的波動貢獻值接近。

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• 地域維度的基尼系數較高，表明該維度更可能是異常源頭（D地區銷售額暴跌）。
• 時間維度的基尼系數較低，表明該維度與異常關聯性較低。

結論

通過基尼系數，可以快速判斷哪個維度更可能是導致指標異常的根源