1. 問題
今天在做leetcode 不同路徑 的時候發現了個問題
對于m=53 n=4class Solution:def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:rlt = 1for i in range(0, m-1):rlt *= (m + n - 2 - i)for i in range(0, m-1):rlt /= (i + 1)return int(rlt)為什么這個結果是 26234class Solution:def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:up = 1down = 1for i in range(0, m-1):up *= (m + n - 2 - i)for i in range(0, m-1):down *= (i + 1)return int(up/down)而這個結果是 26235
據GPT描述，兩個代碼邏輯上是相同的，計算的是組合數 C m + n ? 2 m ? 1 C_{m+n-2}^{m-1} Cm+n?2m?1?：
C m + n ? 2 m ? 1 = ( m + n ? 2 ) ! ( m ? 1 ) ! ( n ? 1 ) ! C_{m+n-2}^{m-1} = \frac{(m+n-2)!}{(m-1)!(n-1)!} Cm+n?2m?1?=(m?1)!(n?1)!(m+n?2)!?
然而，兩個代碼的計算方式有所不同：
-
第一個代碼 直接使用浮點除法
rlt /= (i + 1)，在 Python 中，浮點數的計算可能會引入精度誤差，最終int(rlt)向下取整，導致結果偏小。 -
第二個代碼 分別計算
up和down，然后用int(up/down)，由于 Python 的整數運算是精確的，這種方式避免了浮點誤差，得到了正確的組合數 26235。
第一個代碼因為浮點誤差，導致 int(rlt) 取整后比正確值少 1，所以結果是 26234，而第二個代碼由于整數計算的精確性，得到了正確答案 26235。
2. 思考
即使除法的數學結果是整數，如果中間計算涉及浮點數，可能會因為浮點精度誤差導致最終取整時丟失 1。我們來深入分析原因：
① Python 的 / 生成浮點數
Python 里的 / 即使除得的是整數，結果仍然是 float。例如：
print(10 / 2) # 5.0
print(type(10 / 2)) # <class 'float'>
在代碼中，這意味著：
rlt = int(rlt / (i + 1))
即使 rlt / (i + 1) 的數學結果是整數，Python 仍然會先計算 浮點數，然后 int() 強制取整，可能引入誤差。
② 浮點數存儲精度問題
Python 的浮點數是基于 IEEE 754 標準的 雙精度浮點數（double precision）。但 某些整數在浮點數表示中無法精確存儲，例如：
x = 10000000000000003
y = 10000000000000002print(float(x)) # 10000000000000004.0 (存儲時發生變化)
print(float(y)) # 10000000000000002.0 (存儲正確)
當 rlt 變大時，比如 C_{m+n-2}^{m-1} 計算過程中，rlt 可能會進入 浮點存儲的誤差范圍，導致浮點數計算不精確。
③ int() 取整丟失 1
浮點數不能精確表示某些大整數時，取 int() 可能會導致向下取整。假設 rlt / (i + 1) 的數學結果是 26235，但由于浮點精度問題，Python 存儲的可能是：
26234.999999999998
此時 int(26234.999999999998) 向下取整，結果變成 26234，比正確答案少了 1。
④ 解決方案
避免浮點數參與計算，直接使用 整數除法 //，確保所有計算都在 整數空間 進行：
rlt //= (i + 1) # 這樣不會有浮點精度問題
這樣，每次除法都保證是 整數運算，不會因浮點精度誤差導致 int() 取整出錯。
3. 進一步理解
為什么x = 10000000000000003
y = 10000000000000002print(float(x)) # 10000000000000004.0 (存儲時發生變化)
print(float(y)) # 10000000000000002.0 (存儲正確)
這個現象是由于 IEEE 754 雙精度浮點數（double precision floating point） 的 有限精度 導致的。讓我們來深入分析為什么 10000000000000003 在轉換成 float 時變成了 10000000000000004.0，而 10000000000000002 仍然能正確存儲。
① 浮點數的存儲方式
Python 的 float 類型遵循 IEEE 754 雙精度浮點數標準，使用 64 位 進行存儲：
- 1 位 表示符號位（正/負）。
- 11 位 表示指數（決定浮點數的范圍）。
- 52 位 表示 尾數（精確存儲的部分）。
由于 52 位尾數最多只能精確存儲 52 位二進制數，所以如果一個整數的二進制表示超過 52 位，就必須 進行四舍五入，這可能導致數值發生變化。
② 10000000000000003 和 10000000000000002 的二進制表示
我們先看看這兩個數的 二進制表示（十進制 → 二進制）：
10000000000000002
10000000000000002 = 10001110000110111100100110101100111011001000000000000000000010 (二進制)
- 這個數的尾數（低 52 位）可以被精確存儲，所以轉換成
float時不會損失精度。
10000000000000003
10000000000000003 = 10001110000110111100100110101100111011001000000000000000000011 (二進制)
- 這個數的尾數超過了 52 位的存儲限制，所以 IEEE 754 必須進行四舍五入。
- 由于 IEEE 754 采用 “最接近偶數舍入”（round to nearest, ties to even），它會 向上舍入 到
10000000000000004，因此float(10000000000000003)變成了10000000000000004.0。
③ 為什么 10000000000000003 變成 10000000000000004.0？
當一個整數大到超出 52 位精度范圍 時：
- 無法精確存儲，需要進行近似表示。
- IEEE 754 采用“四舍五入到最近的偶數”規則：
10000000000000003比10000000000000004更接近10000000000000004，所以它會被 向上舍入。- 如果它的二進制表示是
...00011（奇數結尾），IEEE 754 會向上舍入到...00100（偶數）。
所以：
print(float(10000000000000003)) # 10000000000000004.0
print(float(10000000000000002)) # 10000000000000002.0
這個現象就是 浮點數的精度限制 造成的，它在轉換時 自動進行了四舍五入，使得 10000000000000003 變成了 10000000000000004.0。
總結
- Python
float遵循 IEEE 754 雙精度浮點數（64 位），其中只有 52 位 用于存儲尾數，超過部分會 四舍五入。 10000000000000002可以精確存儲，因為它的二進制表示沒有超出 52 位精度范圍。10000000000000003由于超出 52 位精度范圍，被四舍五入成10000000000000004.0。
寫在最后
本文采用了 ChatGPT 輔助進行內容的書寫和完善
