PID算法的數學實現和參數確定方法

概述

1 算法描述

1.1 PID算法模型

1.2 PID離散化的圖形描述

1.3?PID算法的特點

2 離散化的PID算法

2.1 位置式PID算法

2.2 增量式PID算法

2.3?位置式PID與增量式PID比較

3??控制器參數整定

3.1 PID參數確定方法

3.1.1 湊試法

3.1.2?臨界比例法

3.1.3??經驗法

3.2 采樣周期

3.3 經驗分享

?3.4 一個Demo

概述

PID算法是一種常用的反饋控制算法，全稱為Proportional-Integral-Derivative。它根據測量值與設定值的差距，經過比例、積分和微分的處理，得到控制器的輸出。本文主要介紹該算法的實現原理，離散PID算法實現方法以及參數確定方法等內容。

1 算法描述

1.1 PID算法模型

其用數學公式描述如下：

1）定義誤差：

2）模擬算法的數學描述：

3）離散PID算法的數學描述：

1.2 PID離散化的圖形描述

1）PID積分項的圖像描述

?數學解釋內容：

2）?PID微分項的圖像描述

?數學解釋內容：

1.3?PID算法的特點

1）PID是比例（Proportional）、積分（Integral）、微分（Differential）的縮寫

2）PID是一種閉環控制算法，它動態改變施加到被控對象的輸出值（Out），使得被控對象某一物理量的實際值（Actual），能夠快速、準確、穩定地跟蹤到指定的目標值（Target）

3）PID是一種基于誤差（Error）調控的算法，其中規定：誤差=目標值-實際值，PID的任務是使誤差始終為0

4）PID對被控對象模型要求低，無需建模，即使被控對象內部運作規律不明確，PID也能進行調控

2 離散化的PID算法

2.1 位置式PID算法

由于計算機控制是一種采樣控制，它只能根據采樣時刻的偏差計算控制量，而不能像模擬控制那樣連續輸出控制量量，進行連續控制。由于這一特點模擬式PID算法公式中的積分項和微分項不能直接使用，必須進行離散化處理。

離散化處理的方法為：以T 作為采樣周期，作為采樣序號，則離散采樣時間對應著連續時間，用矩形法數值積分近似代替積分，用一階后向差分近似代替微分，可作如下近似變換：

公式-1：

2.2 增量式PID算法

所謂增量式 PID 是指數字控制器的輸出只是控制量的增量?uk 。當執行機構需要的控制量是增量，而不是位置量的絕對數值時，可以使用增量式 PID 控制算法進行控制。

將k= k-1帶入到公式-1中，得到公式-2：

使用公式-1減去公式-2得到公式-3：

2.3?位置式PID與增量式PID比較

1）位置式PID由連續形式PID直接離散得到，每次計算得到的是全量的輸出值，可以直接給被控對象；增量式PID由位置式PID推導得到，每次計算得到的是輸出值的增量，如果直接給被控對象，則需要被控對象內部有積分功能

2）增量式PID也可在控制器內進行積分，然后輸出積分后的結果，此時增量式PID與位置式PID整體功能沒有區別；位置式PID和增量式PID計算時產生的中間變量不同，如果對這些變量加以調節，可以實現不同的特性。

3??控制器參數整定

控制器參數整定：指決定調節器的比例系數 Kp 、積分時間Ti 、微分時間Td 和采樣周期Ts 的具體數值。

整定的實質是通過改變調節器的參數，使其特性和過程特性相匹配，以改善系統的動態和靜態指標，取得最佳的控制效果。整定調節器參數的方法很多，歸納起來可分為兩大類，即理論計算整定法和工程整定法。

理?計算整定法有對數頻率特性法和根軌跡法等；

工程整定法有湊試法、臨界比例法、經驗法、衰減曲線法和響應曲線法等。

工程整定法特點不需要事先知道過程的數學模型，直接在過程控制系統中進行現場整定方法簡單、計算簡便、易于掌握。

3.1 PID參數確定方法

3.1.1 湊試法

按照先比例（P）、再積分（I）、最后微分（D）的順序。置調節器積分時間Ti =∞，微分時間Td =0，在比例系數按經驗設置的初值條件下，將系統投入運行，由小到大整定比例系數。求得滿意的 1/4 衰減度過渡過程曲線。

Kp Kp 引入積分作用（此時應將上述比例系數 Kp 設置為 5/6 Kp ）。將Ti 由大到小進行整定。若需引入微分作用時，則將Td 按經驗值或按Td =（1/3～1/4） Ti 設置，并由小到大加入。

3.1.2?臨界比例法

在閉環控制系統里，將調節器置于純比例作用下，從小到大逐漸改變調節器的比例系數，得到等幅振蕩的過渡過程。此時的比例系數稱為臨界比例系數，相鄰兩個波峰間的時間間隔，稱為臨界振蕩周期Tu 。

Ku 臨界比例度法步驟：

1、將調節器的積分時間置于最大（ Ti =∞），微分時間置零（ Td =0），比例系數適當，平衡操作一段時間，把系統投入自動運行。 Ti Kp

2、將比例系數 Kp 逐漸增大，得到等幅振蕩過程，記下臨界比例系數 Ku 和臨界振蕩周期Tu 值。

3、根據 Ku 和Tu 值，采用經驗公式，計算出調節器各個參數，即 Kp 、 Ti 和Td 的值。按“先 P 再 I 最后 D”的操作程序將調節器整定參數調到計算值上。

若還不夠滿意，可再作進一步調整。 臨界比例度法整定注意事項： 有的過程控制系統，臨界比例系數很大，使系統接近兩式控制，調節閥不是全關就是全開，對工業生產不利。有的過程控制系統，當調節器比例系數調到最大刻度值時，系統仍不產生等幅振蕩，對此，就把最大刻度的比例度作為臨界比例度進行調節器參數整定。

3.1.3??經驗法

用湊試法確定 PID 參數需要經過多次反復的實驗，為了減少湊試次數，提高工作效率，可以借鑒他人的經驗，并根據一定的要求，事先作少量的實驗，以得到若干基準參數，然后按照經驗公式，用這些基準參數導出 PID 控制參數，這就是經驗法。臨界比例法就是一種經驗法。這種方法首先將控制器選為純比例控制器，并形成閉環，改變比例系數，使系統對階躍輸入的響應達到臨界狀態，這時記下比例系數 Ku 、臨界振蕩周期為Tu ，根據 Z－N 提供的經驗公式，就可以由這兩個基準參數得到不同類型控制器的參數，如下表所示。

?這種臨界比例法使針對模擬 PID 控制器，對于數字 PID 控制器，只要采樣周期取的較小，原則上也同樣使用。在電動機的控制中，可以先采用臨界比例法，然后在采用臨界比例法求得結果的基礎上，用湊試法進一步完善。上表的控制參數，實際上是按衰減度為 1/4 時得到的。通常認為 1/4 的衰減度能兼顧到穩定性和快速性。如果要求更大的衰減，則必須用湊試法對參數作進一步的調整。

3.2 采樣周期

香農（Shannon）采樣定律：為不失真地復現信號的變化，采樣頻率至少應大于或等于連續信號最高頻率分量的二倍。根據采樣定律可以確定采樣周期的上限值。實際采樣周期的選擇還要受到多方面因素的影響，不同的系統采樣周期應根據具體情況來選擇。

采樣周期的選擇，通常按照過程特性與干擾大小適當來選取采樣周期：即對于響應快、（如流量、壓力）波動大、易受干擾的過程，應選取較短的采樣周期；反之，當過程響應慢（如溫度、成份）、滯后大時，可選取較長的采樣周期。

采樣周期的選取應與PID參數的整定進行綜合考慮，采樣周期應遠小于過程的擾動信號的周期，在執行器的響應速度比較慢時，過小的采樣周期將失去意義，因此可適當選大一點；在計算機運算速度允許的條件下，采樣周期短，則控制品質好；當過程的純滯后時間較長時，一般選取采樣周期為純滯后時間的 1/4～1/8。

3.3 經驗分享

人們通過對 PID 控制理論的認識和長期人工操作經驗的總結，可知PID 參數應依據以下幾點來適應系統的動態過程。

1、在偏差比較大時，為使盡快消除偏差，提高響應速度，同時為了避免系統響應出現超調， Kp 取大值，取零；在偏差比較小時，為繼續減小偏差，并防止超調過大、產生振蕩、穩定性變壞，值要減小，取小值；在偏差很小時，為消除靜差，克服超調，使系統盡快穩定，值繼續減小，值不變或稍取大。?

2、當偏差與偏差變化率同號時，被控量是朝偏離既定值方向變化。因此，當被控量接近定值時，反號的比列作用阻礙積分作用，避免積分超調及隨之而來的振蕩，有利于控制；而當被控量遠未接近各定值并向定值變化時，則由于這兩項反向，將會減慢控制過程。在偏差比較大時，偏差變化率與偏差異號時， Kp 值取零或負值，以加快控制的動態過程。

3、偏差變化率的大小表明偏差變化的速率，越大，取值越小，取值越大，反之亦然。同時，要結合偏差大小來考慮。

4、微分作用可改善系統的動態特性，阻止偏差的變化，有助于減小超調量，消除振蕩，縮短調節時間，允許加大，使系統穩態誤差減小，提高控制精度，達到滿意的控制效果。所以，在比較大時，取零，實際為 PI 控制；在比較小時，取一正值，實行 PID 控制。