引言

在編程競賽和算法挑戰中，我們經常會遇到各種類型的組合問題。這些問題不僅考驗我們的邏輯思維能力，還要求我們熟練掌握數據結構和算法。在這篇文章中，我們將探討一個有趣的問題——“準備考試”，這個問題來自于一個虛構的情境，但其所涉及的算法和數據結構卻是現實世界問題解決中的核心。

問題描述

Monocarc正在準備他的大學第一次考試。考試中將包含n個不同的問題，編號從1到n。教授準備了m個問題列表，每個列表包含n-1個不同的問題。每個列表由一個整數a_i標識，表示該列表中唯一沒有的問題的編號。Monocarc知道k個問題的答案。我們需要確定，對于每個列表，如果Monocarc知道所有問題的答案，他將通過考試。

輸入輸出

輸入

• 第一行包含一個整數t（1 ≤?t?≤ 10^4），表示測試用例的數量。
• 每個測試用例包含三行：
  • 第一行包含三個整數n，m和k（2 ≤?n?≤ 3 * 10^5，1 ≤?m，k?≤?n），分別表示問題的數量、列表的數量和Monocarc知道答案的問題數量。
  • 第二行包含m個不同的整數a_1, a_2, ..., a_m，表示每個列表中唯一沒有的問題的編號。
  • 第三行包含k個不同的整數q_1, q_2, ..., q_k，表示Monocarc知道答案的問題編號。

輸出

對于每個測試用例，輸出一個由m個字符組成的字符串。如果Monocarc通過第i個問題列表的考試，輸出字符為'1'；否則為'0'。

示例

輸入

4
4 3 2
2 3 4
1 2
5 3 4
2 3 4
1 2 4
5 3 3
2 3 4
1 2 3
4 3 2
1 2 4
1 2 3

輸出

010
011
000
110

問題分析

這個問題的關鍵在于如何高效地判斷Monocarc是否知道列表中的所有問題。我們可以通過以下步驟來解決這個問題：

1. 創建已知問題集合：首先，我們需要創建一個集合，包含Monocarc知道的所有問題編號。
2. 遍歷每個列表：對于每個問題列表，我們需要檢查列表中唯一沒有的問題編號是否在已知問題集合中。
3. 判斷通過與否：如果列表中唯一沒有的問題編號不在已知問題集合中，那么Monocarc將通過這個列表的考試。

算法設計

集合操作

在這個問題中，集合操作是關鍵。我們可以使用Python的set數據結構來存儲Monocarc知道的問題編號。集合提供了快速的成員檢查，這對于我們的算法至關重要。

算法步驟

1. 讀取輸入：首先，我們需要讀取測試用例的數量t，然后對于每個測試用例，讀取問題的數量n，列表的數量m，以及Monocarc知道答案的問題數量k。
2. 創建已知問題集合：對于每個測試用例，我們將Monocarc知道的問題編號存儲在一個集合中。
3. 遍歷列表：對于每個問題列表，我們檢查列表中唯一沒有的問題編號是否在已知問題集合中。
4. 輸出結果：根據上述檢查，我們構建一個字符串，表示Monocarc是否通過每個列表的考試。

代碼實現

def prepare_for_exam(test_cases):results = []for n, m, k, known_questions, question_lists in test_cases:known_questions_set = set(known_questions)result = ''for a in question_lists:if a not in known_questions_set:result += '0'else:result += '1'results.append(result)return results# 讀取輸入
t = int(input())
test_cases = []for _ in range(t):n, m, k = map(int, input().split())known_questions = list(map(int, input().split()))question_lists = []for _ in range(m):question_lists.append(int(input()))test_cases.append((n, m, k, known_questions, question_lists))# 調用函數并打印結果
results = prepare_for_exam(test_cases)
for result in results:print(result)

代碼分析

這段代碼首先定義了一個函數prepare_for_exam，它接受一個包含所有測試用例的列表。對于每個測試用例，我們創建一個集合known_questions_set，包含Monocarc知道答案的問題編號。然后，我們遍歷每個問題列表，檢查列表中唯一沒有的問題編號是否在已知問題集合中。如果是，我們在結果字符串中添加'1'，否則添加'0'。最后，我們將結果字符串添加到結果列表中。

擴展討論

性能考慮

在這個問題中，我們使用了集合來存儲已知問題編號，這使得成員檢查的時間復雜度為O(1)。這是解決這個問題的關鍵，因為我們需要對每個列表進行快速檢查。

邊界條件

在實際應用中，我們還需要考慮一些邊界條件，比如當k等于n時，Monocarc知道所有問題的答案，這時他將通過所有列表的考試。另外，當k為0時，他將無法通過任何列表的考試。

算法優化

在某些情況下，我們可能需要進一步優化算法。例如，如果已知問題的數量k非常小，我們可以考慮使用位運算來代替集合操作，以減少內存使用。

結論

通過這個問題，我們不僅學習了如何使用集合來解決實際問題，還了解了算法設計中的關鍵考慮因素，如性能和邊界條件。這個問題是一個很好的例子，展示了如何將理論知識應用到實際問題中。