正態、

威布爾、

指數分布、

3.1 概念介紹

指數分布（Exponential Distribution）是連續概率分布的一種，常用于描述時間間隔或距離等連續變量。它的概率密度函數（PDF）和累積分布函數（CDF）如下所示：

概率密度函數（PDF）

對于參數 $\lambda >0$，指數分布的概率密度函數為：
$$f(x;\lambda )=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{?\lambda x}& x\ge 0\\ 0& x<0\end{array}$$
這里，$\lambda$ 是分布的參數，稱為速率參數，它決定了分布的形狀。

累積分布函數（CDF）

指數分布的累積分布函數為：
$$F(x;\lambda )=\{\begin{array}{ll}1?e^{?\lambda x}& x\ge 0\\ 0& x<0\end{array}$$

性質

1. 無記憶性：指數分布是無記憶的，即對于任何 $s,t\ge 0$，有
   $P(X>s+t\mid X>s)=P(X>t)$
2. 均值和方差：如果 $X～\text{Exponential}(\lambda )$，則
   • 均值：$\mathbb{E}[X]=\frac{1}{\lambda }$
   • 方差：$\text{Var}(X)=\frac{1}{{\lambda }^2}$

應用

指數分布在許多領域都有廣泛應用，例如：

• 排隊論：用于描述客戶到達間隔時間。
• 可靠性工程：用于描述設備無故障運行時間。
• 生存分析：用于描述某事件發生的時間間隔。

3.2 參數及繪圖

讓我們更深入地了解指數分布的參數，并通過繪圖來展示其特性。

參數

指數分布的關鍵參數是速率參數 $\lambda$。這個參數決定了事件發生的速率。具體來說：

• 速率參數 $\lambda$：表示事件發生的速率。單位時間內發生事件的期望次數。通常，$\lambda$ 值越大，事件發生得越快。
• 均值 $\mu =\frac{1}{\lambda }$：表示事件發生的平均時間間隔。通常，$\mu$ 值越大，事件發生的間隔時間越長。

概率密度函數（PDF）

$$f(x;\lambda )=\lambda e^{?\lambda x}\text{for}x\ge 0$$

累積分布函數（CDF）

$$F(x;\lambda )=1?e^{?\lambda x}\text{for}x\ge 0$$

繪圖

我們將繪制不同 (\lambda) 值下的指數分布的概率密度函數（PDF）和累積分布函數（CDF）。接下來，我們使用 Python 繪制這些圖。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# 定義參數
lambdas = [0.5, 1.0, 1.5]  # 不同的lambda值
x = np.linspace(0, 10, 400)  # x范圍# 繪制PDF
plt.figure(figsize=(14, 6))# PDF
plt.subplot(1, 2, 1)
for lambd in lambdas:pdf = lambd * np.exp(-lambd * x)plt.plot(x, pdf, label=f'λ = {lambd}')
plt.title('Exponential Distribution - PDF')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.legend()# CDF
plt.subplot(1, 2, 2)
for lambd in lambdas:cdf = 1 - np.exp(-lambd * x)plt.plot(x, cdf, label=f'λ = {lambd}')
plt.title('Exponential Distribution - CDF')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('F(x)')
plt.legend()plt.tight_layout()
plt.show()

以上代碼將生成兩個圖，一個是概率密度函數（PDF），另一個是累積分布函數（CDF），每個圖中都展示了不同 $\lambda$ 值（0.5、1.0、1.5）下的分布情況。現在，我將生成這些圖并展示給你。

以上的圖像展示了不同速率參數 (\lambda) 下的指數分布的概率密度函數（PDF）和累積分布函數（CDF）。

圖像解讀

1. PDF 圖像：

   • $\lambda =0.5$: 曲線下降較慢，表示事件發生的速率較低，間隔時間較長。
   • $\lambda =1.0$: 曲線下降適中，表示事件發生的速率為中等。
   • $\lambda =1.5$: 曲線下降較快，表示事件發生的速率較高，間隔時間較短。

2. CDF 圖像：

   • $\lambda =0.5$: 曲線上升較慢，表示在較長的時間范圍內事件才有較高的發生概率。
   • $\lambda =1.0$: 曲線上升適中。
   • $\lambda =1.5$: 曲線上升較快，表示在較短的時間范圍內事件就有較高的發生概率。

通過這些圖像，可以直觀地理解不同速率參數 $\lambda$ 對于指數分布的影響。

3.3 指數分布擬合

 loc_expon, scale_expon = expon.fit(data)expon_pdf = expon.pdf(x, loc_expon, scale_expon) 

這行代碼 loc_expon, scale_expon = expon.fit(data) 是使用 Python 的 SciPy 庫中的 expon（指數分布）來擬合數據 data。具體來說，它使用指數分布來估計數據的參數。

代碼解讀

• expon.fit(data):

  • 這是 SciPy 庫中 expon 對象的方法，用于擬合指數分布到數據 data。
  • data 是你要擬合的數據數組。

• 返回值:

  • expon.fit(data) 返回兩個參數：loc 和 scale，分別對應指數分布的定位參數和尺度參數。
  • loc_expon 是定位參數（loc）。
  • scale_expon 是尺度參數（scale）。

指數分布的參數

• 定位參數（loc）：

  • 這是指數分布的平移參數，默認情況下為 0。它決定了分布的起點位置。

• 尺度參數（scale）：

  • 這是指數分布的尺度參數，與速率參數 $\lambda$ 有關。具體來說，尺度參數等于速率參數的倒數，即 $\text{scale}=\frac{1}{\lambda }$。

指數分布擬合

指數分布的概率密度函數（PDF）為：
$$f(x;\lambda )=\lambda e^{?\lambda (x?\text{loc})}$$
擬合數據時，我們實際上在估計參數 $\lambda$和 $\text{loc}$ 以使得這個分布最符合數據 data。

例子

假設我們有一組數據，并希望用指數分布來擬合它們，代碼可能如下：

import numpy as np
from scipy.stats import expon# 生成一些示例數據
data = np.random.exponential(scale=2, size=1000)# 擬合指數分布到數據
loc_expon, scale_expon = expon.fit(data)print(f"loc: {loc_expon}, scale: {scale_expon}")

在這個例子中，我們生成了一些服從指數分布的數據，然后使用 expon.fit 方法來擬合這些數據并估計參數 loc 和 scale。結果 loc_expon 和 scale_expon 將分別是定位參數和尺度參數。

伽馬分布、

對數正態分布介紹