二、隨機變量
2.1 隨機變量及其分布
（一）基本概念
定義1 隨機變量
隨機變量表示隨機試驗各種結果的實值單值函數，即能用數學分析方法來研究隨機現象，例如某一時間內公共汽車站等車的乘客人數、淘寶在一定時間內的交易次數等，都是隨機變量的實例，按照隨機變量可能取得的值，可以把它們分為兩種基本類型：離散型和連續性。
設隨機試驗的樣本空間為S，稱實值函數X=x(w)，w∈S為隨機變量，一般記為X。
隨機變量的性質
1.隨機變量是定義在樣本空間S上的，S中的元素可以不是數，而普通函數是定義在實數軸上的，變量的取值是數。
2.隨機變量取值具有隨機性且以一定的概率取值，描述所有可能取值的概率。
定義2 隨機變量的分布函數
設X為隨機變量，對任意實數x，稱函數
F(X)=P{X≤x}=P{X∈（-∞，x]}
為隨機變量X的分布函數，幾何意義：X落在區間(-∞,x]上的概率。
- 非負性：對于任意實數 x，分布函數 F(x) 都是非負的，即 F(x) ≥ 0。
- 單調性：如果 x1 < x2，則對應的分布函數值也有 F(x1) ≤ F(x2)。
- 有界性：分布函數的取值范圍在 [0, 1] 之間，即 0 ≤ F(x) ≤ 1。
- 右連續性：分布函數在每個點 x 處右連續，即 lim┌y→x? F(y) = F(x)。
- 極限性：當 x 趨向負無窮時，分布函數趨向于 0；當 x 趨向正無窮時，分布函數趨向于 1。
2.2 離散型隨機變量
（一）定義
離散型隨機變量即在一定區間內變量取值為有限或可列無窮多個，例如某地區某年人口的出生數、死亡數。
離散型隨機變量根據不同的概率分布有伯努利分布、二項分布、幾何分布、泊松分布、超幾何分布等。
（二）常見的離散型隨機變量分布
1. 0-1分布（伯努利分布）
介紹：
0-1分布是最簡單的離散型隨機變量分布，結果只能取0和1。
它只進行一次實驗，描述兩種可能結果中的一次出現。
公式：
設隨機變量X只取0和1兩個值，取1的概率為p（0≤p≤1），則取0的概率為1-p。
P(X=1) = p, P(X=0) = 1-p
舉例：
拋一次硬幣，觀察正反面，正面記為1，反面記為0。假設正面朝上的概率為p，則X服從參數為p的0-1分布。
2. 二項分布
介紹：
二項分布描述的是在n次獨立的伯努利試驗中，成功事件出現k次的概率。
每次試驗中，成功事件出現的概率p保持不變。
公式：
P(X=k) = C(n, k) * pk * (1-p)(n-k)
其中，C(n, k)是組合數，表示從n個不同元素中取出k個元素的組合方式數。
舉例：
拋擲一枚硬幣n次，正面朝上的次數X服從參數為n和p的二項分布，其中p為正面朝上的概率。
3. 泊松分布
介紹：
泊松分布適用于描述單位時間內（或空間內）隨機事件發生k次的概率。
它常用于描述稀有事件的發生次數，如一定時間內到達某地的車輛數、一定面積上某種細菌的數量等。
公式：
P(X=k) = (e(-λ) * λk) / k!
其中，λ是單位時間（或空間）內事件的平均發生率。
舉例：
在某時間段內，平均有λ個顧客進入商店，則在該時間段內進入k個顧客的概率服從參數為λ的泊松分布。
4. 幾何分布
介紹：
幾何分布描述了在n次伯努利試驗中，首次成功出現所需的試驗次數k的概率分布。
每次試驗中成功的概率p保持不變。
公式：
P(X=k) = (1-p)^(k-1) * p
其中，k是首次成功出現前的試驗次數。
舉例：
反復拋擲一枚硬幣，直到首次出現正面為止，所需拋擲的次數X服從參數為p的幾何分布，其中p為正面朝上的概率。
5. 超幾何分布
介紹：
超幾何分布描述的是從有限個（N個）不同元素中抽取n個元素，其中成功事件（特定元素）出現k次的概率。
它與二項分布的不同之處在于，二項分布中每次試驗都是獨立的，且總體大小是無限的；而超幾何分布中每次試驗都不是完全獨立的，且總體大小是有限的。
公式：
P(X=k) = (C(M, k) * C(N-M, n-k)) / C(N, n)
其中，M是總體中成功事件的個數，N是總體大小，n是抽取的樣本大小，k是樣本中成功事件的個數。
舉例：
從一個裝有M個紅球和N-M個白球的袋子中隨機抽取n個球，其中紅球的數量X服從參數為N、M、n的超幾何分布。
以上是對幾種常見離散型隨機變量分布的介紹、公式及舉例。這些分布在統計學和概率論中有著廣泛的應用，能夠幫助我們理解和分析各種隨機現象。
