例1：證明：

（1）三次交錯群A3是循環群，它與(Z3,+)同構，其中Z3 = {[0],[1],[2]}；

（2）G = {1,i,-1,-i}，G上的代數運算是數的乘法，則G是一個循環群，它同構于(Z4,+)，其中Z4 = {[0],[1],[2],[3]}。

證：（1）A3 = {(1),(123),(132)}，由于(123)^1 = (123)，(123)^2 = (132)，(123)^3 = (1)，

所以A3中所有元素均可以由(123)生成，因此A3是一個循環群，且(123)是其生成元，即A3?= ((123))，

定義映射f：A3→Z3為f((123)^k) = [k]，易證f是一個同構映射：

①對任意的(123)^k∈A3，存在[k]∈Z3與之對應，因此f是一個映射；

②對任意的[k]∈Z3，存在(123)^k∈A3與之對應，因此f是一個滿射；

③由f((123)^k) = f((123)^h)，可得出[k] = [h]，從而(123)^k = (123)^h，因為假若(123)^k ≠ (123)^h，則(123)^(k-h) ≠ (123)^(h-h) = (1)，這樣[k]-[h] = [k-h]＝f((123)^(k-h)) ≠ f((123)^(h-h)) = [h-h] = [0]，即[k] - [h] ≠ [0]，即[k] ≠ [h]+[0] = [h]，這與前提條件矛盾，所以(123)^k = (123)^h，

因此f是一個單射；

④f((123)^k o (123)^h) = f((123)^(k+h)) = [k+h] = [k]+[h] = f((123)^k) + f((123)^h)，因此f是一個同態映射。

綜上所述，f是從A3→Z3的一個同構映射，從而(A3,o)?? (Z3,+)。

（2）因為i^1 = i，i^2 = -1，i^3 = -i，i^4 = 1，所以G中所有的元素都可以由其中的i生成，因此G是一個循環群，i是其生成元，即G = (i)，

定義映射g：G→Z4為g(i^k) = [k]，按照和（1）中同樣的步驟，可以證明g是一個同構映射，

從而(G,×)?? (Z4,+)。

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例2：求Z2,Z3,Z4,...,Z8中各元素的階，并找出它們所有的生成元。

解：①Z2 = {[0],[1]}，其中[0]是單位元，[0]^1 = [0]，[1]^2 = [1]+[1] = [2] = [0]，所以|[0]| = 1，|[1]| = 2，元素[0]和[1]均可以由[1]生成，所以[1]是生成元；

②Z3 = {[0],[1],[2]}，其中[0]是單位元，[0]^1 = [0]，[1]^3?= [1]+[1]+[1] = [3] = [0]，[2]^3 = [6] = [0]，所以|[0]| = 1，|[1]| = 2，|[2]| = 3，所有元素均可以由[1]或[2]生成，所以[1]、[2]是生成元；

③Z4 = {[0],[1],[2],[3]}，|[0]| = 1，|[1]| = 4，|[2]| = 2，|[3]| = 4，[1],[2],[3]均是其生成元；

④Z5?= {[0],[1],[2],[3],[4]}，|[0]| = 1，|[1]| = 5，|[2]| = 5，|[3]| = 5，|[4]| = 5，[1],[2],[3],[4]均是其生成元；

⑤Z6?= {[0],[1],[2],[3],[4],[5]}，|[0]| = 1，|[1]| = 6，|[2]| = 3，|[3]| = 2，|[4]| = 3，|5| = 6，[1],[2],[3],[4],[5]均是其生成元；

⑥Z7?= {[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6]}，|[0]| = 1，|[1]| = 7，|[2]| = 7，|[3]| = 7，|[4]| = 7，|[5]| = 7，[1],[2],[3],[4],[5],[6]均是其生成元；

⑦Z8?= {[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7]}，|[0]| = 1，|[1]| = 8，|[2]| = 4，|[3]| = 8，|[4]| = 2，|[5]| = 8，[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7]均是其生成元；

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（待續……）

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